Αρχείο ετικέτας ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

    1. Αν το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο, |\vec{\beta}| = 2 και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3}, να υπολογίσετε τα εσωτερικά γινόμενα:i_). \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta},
      ii_). (\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}) \cdot (\vec{\alpha} - \vec{\beta}),
      iii_). (\vec{\alpha} - 3\vec{\beta})^2.
    2. Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Α.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.

  1. Αν \vec{\alpha} = (3, \sqrt{3}) και \vec{\beta} = (\sqrt{3}, -1) να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  2. Αν \vec{\alpha} = (1, \sqrt{3}) και \vec{\beta} = (-\sqrt{3}, 3) να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  3. Αν \vec{\alpha} = (3, -4) και \vec{\beta} = \dfrac{1}{7}i + j, να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  4. Αν Α(4, 1), Β(8, 2), Γ(1, 3), να αποδείξετε ότι η γωνία των \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma} είναι αμβλεία.
  5. Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

    1. Αν \vec{\alpha}^2 = 5\vec{\beta}(2\vec{\alpha} - 5\vec{\beta}), να αποδείξετε ότι \vec{\alpha}\uparrow \uparrow \vec{\beta}.
    2. Αν το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο και ισχύει \vec{\beta}^2 + \vec{\gamma}^2 = \vec{\alpha} \cdot (2\vec{\beta} - \vec{\alpha}), να υπολογίσετε την παράσταση Α = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}.
    3. Αν το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο και ισχύει |\vec{\beta}| = 2\sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1}, να αποδείξετε ότι \vec{\beta} = 2\vec{\alpha}.
    4.  Αν |\vec{\alpha}| = 2 και |\vec{\beta}| = \sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1}, να δείξετε ότι \vec{\alpha} = 2\vec{\beta}.
    5.  Αν τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} είναι μοναδιαία και ισχύει \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = 2, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} = \vec{\beta} = \vec{\gamma}.
    6. Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\nu} = \dfrac{|\vec{\beta}|}{|\vec{\alpha}|} \cdot \vec{\alpha} και \vec{\upsilon} = \dfrac{|\vec{\alpha}|}{|\vec{\beta}|} \cdot \vec{\beta}, να αποδείξετε ότι:i.).  \vec{\nu} \uparrow \uparrow \vec{\alpha} και |\vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha}|.
      ii.). |\vec{\nu} + \vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|.
    7.  Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν |\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}|, ~\vec{\alpha}\neq \vec{0} και |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\beta}|, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}.
    8.  Αν |\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|, να δείξετε ότι |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}|\sqrt{3}.
    9.  Αν |\vec{\alpha}| = 6 και |\vec{\beta}| = 2 και |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \geq 8, να αποδείξετε ότι:i.). |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 8.
      ii.).\vec{\alpha} = 3\vec{\beta}.

      ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.
    10. Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ


Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων
Ορισμός
Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων \vec{\boldsymbol{α}} και \vec{\boldsymbol{\beta}}, και το συμβολίζουμε με \vec{\boldsymbol{α}} \cdot \vec{\boldsymbol{\beta}}, τον πραγματικό αριθμό:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\lvert{\vec{α}}\rvert \lvert{\vec{\beta}}\rvert \sigma \upsilon \nu \phi\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Αν \vec{α}=(\mathrm{x_1},\mathrm{y_1}) και \vec{\beta}=(\mathrm{x_2},\mathrm{y_2}) δύο διανύσματα του Καρτεσιανού επιπέδου, τότε:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta}=\mathrm{x_1}\mathrm{x_2}+\mathrm{y_1}\mathrm{y_2}\]

Δηλαδή:
Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομωνύμων συντεταγμένων τους.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου

Για τα διανύσματα \vec{α},\vec{\beta} και \vec{\gamma} ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1.  \color{violet}{(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}
  2.  \color{magenta}{\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}}
  3.  \color{orange}{\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1, εφόσον \color{orange}{\vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y}}

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΔΕΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΠΑΝΤΑ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Κάθετα διανύσματα – Ορισμός και ιδιότητες εσωτερικού γινομένου}

Σε ασκήσεις που υπάρχει ως δεδομένο ή ως ζητούμενο ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα. χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

    \[\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Κάθετα διανύσματα – Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου

Όταν δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους τότε το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με μηδέν.

    \[\text{Αν:}\quad \vec{\alpha}=(x_{1}\, , \, y_{1}) \quad \text{και} \quad \vec{\beta}=(x_{2}\, , \, y_{2})\]

    \[\text{με}\quad \vec{\alpha} {\Large{\bot} \vec{\beta}\]

    \[\text{Τότε:} \quad \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =0 \quad \text{οπότε} \quad x_{1}\cdot x_{2}+y_{1}\cdot y_{2} =0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΕ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ