Αρχείο ετικέτας ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

Εξισώσεις της μορφής

    \[\boldsymbol{A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0}\]


Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής:

    \[A\mathrm{x}^{2} + B\mathrm{y}^{2} + \Gamma \mathrm{x}\mathrm{y} + \Delta\mathrm{x} + E\mathrm{y} + Z = 0\]

παριστάνει δύο ευθείες, εργαζόμαστε ως εξής:
Θεωρούμε ότι η εξίσωση είναι τριώνυμο ως προς \mathrm{x} (ή ως προς \mathrm{y},) δηλαδή:

    \[A\mathrm{x}^{2} + (\Gamma \mathrm{y} + \Delta)\mathrm{x}+ B\mathrm{y}^{2} + E\mathrm{y} + Z = 0\]

Λύνουμε την παραπάνω εξίσωση και βρίσκουμε δύο σχέσεις ανάμεσα στα \mathrm{x} και \mathrm{y}, οι οποίες είναι οι εξισώσεις των ζητούμενων ευθειών

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ X KAI Y

ΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΚΛΙΣΗ –  ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Γωνία που σχηματίζει ευθεία με τον άξονα  \boldsymbol{x'x}

Σε ένα σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε μια ευθεία (\epsilon) που τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Α.

Η γωνία \omega που διαγράφει ο άξονας x'x όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία (\epsilon), ονομάζεται γωνία που σχηματίζει η ευθεία \boldsymbol{(\epsilon)} με τον άξονα \boldsymbol{x'x} (σχήμα 1).

Γωνία που σχηματίζει ευθεία με τον άξονα \boldsymbol{x'x}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΛΙΣΗ – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Έστω ένα διάνυσμα \vec{\delta} παράλληλο σε μια ευθεία (\epsilon). Αν \varphi και \omega είναι οι γωνίες που σχηματίζουν το \vec{\delta} και η (\epsilon) αντίστοιχα με τον άξονα x'x, τότε (όπως φαίνεται στα επόμενα σχήματα) θα ισχύει:

    \[\varphi = \omega \quad \text{ή} \quad \varphi = \pi + \omega\]

Γωνία διανύσματος με τον άξονα x’x

φ = ω

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ X’X – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ X’X – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΩΝΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ X’X – ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΥΝ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΥΝ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ

Ή αλλίως Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας που διέρχεται από δύο γνωστά σημεία.

  • Ο συντελεστής διεύθυνσης \lambda μιας ευθείας (\epsilon) που διέρχεται από τα σημεία A(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) και B(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}), με \mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}, είναι:

        \[\lambda = \frac{\mathrm{y}_{2} - \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2} - \mathrm{x}_{1}}\]

Απόδειξη

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΥΝ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ


ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ
Έστω (\epsilon) η ευθεία που διέρχεται από τα δύο σημεία Α(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) και Β(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_2).

  •  Αν \mathrm{x}_{1} \neq \mathrm{x}_{2}, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της (\epsilon) είναι:
    \lambda = \dfrac{\mathrm{y}_{2} - \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2} - \mathrm{x}_{1}}
    και η εξίσωσή της γίνεται:
    (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{1} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{1}) \Leftrightarrow \mathrm{y} - \mathrm{y}_{1} = \frac{\mathrm{y}_{2} - \mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{2} - \mathrm{x}_{1}} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{1})
  • Αν \mathrm{x}_{1} = \mathrm{x}_{2}, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την (\epsilon) και η εξίσωσή της είναι:
    (\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{1}
    Δηλαδή, η ευθεία (\epsilon):\mathrm{x} = \mathrm{x}_{1} είναι παράλληλη στον y',y.

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΥΘΕΙΑ

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ


Έστω (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης
\lambda_{1} και \lambda_{2} αντίστοιχα.
Αν τα διανύσματα \vec{\delta_{1}} και \vec{\delta_{2}} είναι παράλληλα προς τις (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) αντίστοιχα, τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:
(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2}

και

(\epsilon_{1}) \perp (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} \lambda_{2} = -1

Με τον συμβολισμό (\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) εννοούμε ότι οι ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΤΡΙΑ ΣΗΜΕΙΑ ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ