Αρχείο ετικέτας ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης που ικανοποιεί μια ιδιότητα.
Όταν η ευθεία (\epsilon) έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης \lambda και ικανοποιεί μια ιδιότητα Ι,(π.χ ευθεια που σχηματιζει τριγωνο με τους αξονες) τότε για να βρούμε την εξίσωσή της, γράφουμε την ευθεία (\epsilon) στη μορφή:

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta.\]

‘Ωστε ο μοναδικός άγνωστος να είναι ο \beta, τον οποίο θα υπολογίσουμε θεωρώντας ότι η (\epsilon) ικανοποιεί την ιδιότητα Ι.

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

 
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

Ευθεία που διέρχεται από γνωστό σημείο και ικανοποιεί μια ιδιότητα

Όταν μια ευθεία (\epsilon) διέρχεται από γνωστό σημείο Α(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) και επιπλέον έχει μια ιδιότητα Ι, τότε για να βρούμε την εξίσωσή της, εργαζόμαστε ώς εξής:

  • Η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση της μορφής:

        \[\mathrm{x} = \mathrm{x}_0 \quad \text{ή}\quad \mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}).\]

  • Εξετάζουμε αν η ευθεία με εξίσωση \mathrm{x} = \mathrm{x}_0 έχει την ιδιότητα Ι. Αν την έχει, τότε η \mathrm{x} = \mathrm{x}_0 είναι μια από τις ζητούμενες ευθείες.

Θεωρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση \mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}) έχει την ιδιότητα Ι και βρίσκουμε (αν υπάρχουν) τις τιμές του \lambda και τις αντίστοιχες ευθείες.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη τη διάμεσο ευθεία

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη διχοτόμο γωνίας δυο ευθειών.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

  • Έστω \vec{\nu}=(\mathrm{x},\mathrm{y}) ένα διάνυσμα με \mathrm{x}, \mathrm{y} \neq 0. Για να βρούμε τη γωνία \omega που σχηματίζει το \vec{\nu} με τον άξονα x'x, εργαζόμαστε ως εξής:
  • Βρίσκουμε την \epsilon\phi\omega=\dfrac{y}{x}.
    Εντοπίζουμε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της \omega.

      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}>0, τότε 0 < \omega < \frac{\pi}{2}
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}>0, τότε \frac{\pi}{2} < \omega < \pi
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}<0, τότε \pi < \omega < \frac{3\pi}{2}
      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}<0, τότε \frac{3\pi}{2} < \omega < 2\pi
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(\mathrm{x},0) είναι παράλληλο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • 0, αν \mathrm{x}>0
      \pi, αν \mathrm{x}<0
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(0,\mathrm{y}) είναι κάθετο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • \frac{\pi}{2}, αν \mathrm{y}>0
      \frac{3\pi}{2}, αν \mathrm{y}<0

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

    Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων

    Ορισμένα προβλήματα γεωμετρίας μπορούν να λυθούν πιο εύκολα με τη βοήθεια των συντεταγμένων. Εργαζόμαστε ως εξής:

  • Τοποθετούμε το σχήμα σε κατάλληλο σύστημα αξόνων, ώστε να προκύψουν όσο το δυαντόν περισσότερα σημεία με τεταγμένες ή τετμημένες μηδέν και όσο το δυνατόν λιγότερα σημεία με άγνωστες συντεταγμένες.
  • Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του σχήματος.
  • Εκφράζουμε τα διανυσματικά δεδομένα με τη βοήθεια συντεταγμένων και το πρόβλημα γίνεται ((αλγεβρικό)).

  • Συνέχεια ανάγνωσης Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων

    ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

    Παράδειγμα.1.
    Δίνονται 3 μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και τα διανύσματα

        \[\overrightarrow{\Gamma\Delta}=\overrightarrow{BA} \ \text{και} \ \overrightarrow{B \Epsilon}=\overrightarrow{A\Gamma},\]

    να αποδείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο του \Delta\Epsilon.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ