Αρχείο κατηγορίας Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ
Η απόσταση των σημείων A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) του Καρτεσιανού επιπέδου είναι ίση με:

    \[AB=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\]

Απόδειξη

Η απόσταση δύο σημείων AB είνα ίση με το μέτρο του διανύσματος που ορίζουν.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

ΟΡΙΖΟΥΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ – ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ

ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ


Για να εξετάσουμε τρια σημεία οτι είναι συνευθειακά θα πρεπει να οριζουν δυο διανύσματα παράλληλα οπότε η ορίζουσα των συντεταγμένων τους να ειναι μηδεν

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

ΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΤΕΤΜΗΜΕΝΩΝ

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

  • Έστω \vec{\nu}=(\mathrm{x},\mathrm{y}) ένα διάνυσμα με \mathrm{x}, \mathrm{y} \neq 0. Για να βρούμε τη γωνία \omega που σχηματίζει το \vec{\nu} με τον άξονα x'x, εργαζόμαστε ως εξής:
  • Βρίσκουμε την \epsilon\phi\omega=\dfrac{y}{x}.
    Εντοπίζουμε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της \omega.

      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}>0, τότε 0 < \omega < \frac{\pi}{2}
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}>0, τότε \frac{\pi}{2} < \omega < \pi
      αν \mathrm{x}<0 και \mathrm{y}<0, τότε \pi < \omega < \frac{3\pi}{2}
      αν \mathrm{x}>0 και \mathrm{y}<0, τότε \frac{3\pi}{2} < \omega < 2\pi
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(\mathrm{x},0) είναι παράλληλο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • 0, αν \mathrm{x}>0
      \pi, αν \mathrm{x}<0
  • `Ενα διάνυσμα της μορφής \vec{\nu}=(0,\mathrm{y}) είναι κάθετο στον άξονα x'x και σχηματίζει με αυτόν γωνία:
    • \frac{\pi}{2}, αν \mathrm{y}>0
      \frac{3\pi}{2}, αν \mathrm{y}<0

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ (ΑΣΚΗΣΕΙΣ)

    Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων

    Ορισμένα προβλήματα γεωμετρίας μπορούν να λυθούν πιο εύκολα με τη βοήθεια των συντεταγμένων. Εργαζόμαστε ως εξής:

  • Τοποθετούμε το σχήμα σε κατάλληλο σύστημα αξόνων, ώστε να προκύψουν όσο το δυαντόν περισσότερα σημεία με τεταγμένες ή τετμημένες μηδέν και όσο το δυνατόν λιγότερα σημεία με άγνωστες συντεταγμένες.
  • Βρίσκουμε τις συντεταγμένες των κορυφών του σχήματος.
  • Εκφράζουμε τα διανυσματικά δεδομένα με τη βοήθεια συντεταγμένων και το πρόβλημα γίνεται ((αλγεβρικό)).

  • Συνέχεια ανάγνωσης Επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων με τη βοήθεια συντεταγμένων

    ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β. ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

    ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ

    Οι περισσότερες ασκήσεις με διανυσματικές σχέσεις μπορούν να λυθούν με τη μέθοδο των διανυσματικών ακτίνων.

  • Όταν θέλω πρόσθεση έχω το ίδιο μεσαίο σημείο

        \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} +\overrightarrow{OB}\]

  • Όταν θέλω αφαίρεση έχω το ίδιο αρχικό σημείο

        \[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OA} -\overrightarrow{OB}\]

    Δηλαδή όταν ένα διάνυσμα πρέπει να αναλυθεί:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΚΑΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΚΤΙΝΑ ΜΕΣΟΥ

  • ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

        \[\Big| |\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| \leq |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \leq | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}|\]

    Όταν έχουμε να συνδυάσουμε σε μια άσκηση ανισοτικές σχέσεις με διανύσματα και παραλληλία, με ομόρροπα και αντίρροπα διανύσματα, χρησιμοποιώ τις παρακάτω ειδικές περιπτώσεις:

        \[\bullet \quad \Big||\overrightarrow{\gra}|-| \overrightarrow{\grb} |\Big| = |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \swarrow \overrightarrow{\grb}\]

        \[\bullet \quad |\overrightarrow{\gra}+\overrightarrow{\grb} | = | \overrightarrow{\gra} |+ |\overrightarrow{\grb}| \ \text{ αν-ν } \ \overrightarrow{\gra} \nearrow \nearrow \overrightarrow{\grb}\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

    ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

    Παράδειγμα.1.
    Δίνονται 3 μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ και τα διανύσματα

        \[\overrightarrow{\Gamma\Delta}=\overrightarrow{BA} \ \text{και} \ \overrightarrow{B \Epsilon}=\overrightarrow{A\Gamma},\]

    να αποδείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο του \Delta\Epsilon.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ