Αρχείο κατηγορίας Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων

Θεωρούμε δύο διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0} του επιπέδου
και έστω \theta = (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}).
Το συνημτονο της γωνίας \theta που σχηματιζουν τα διανύσματα \vec{α}, \vec{\beta} δίνεται από τον τύπο:

    \[\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\vec{α} \cdot \vec{\beta}}{\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert}.\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ

ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΓΝΩΣΤΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων και συντεταγμένες διανυσμάτων

Έστω \vec{α}=(\mathrm{x_1}, \mathrm{y_1}) και \vec{\beta}=(\mathrm{x_2}, \mathrm{y_2}) δύο μη μηδενικά διανύσματα τότε για τη γωνία \theta που σχηματιζουν ισχύει ότι:

    \[\sigma \upsilon \nu \theta = \frac{\mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2}}{\sqrt{\mathrm{x}^{2}_{1}+\mathrm{y}^{2}_{1}} \cdot \sqrt{\mathrm{x}^{2}_{2}+\mathrm{y}^{2}_{2}}}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΜΕ ΓΝΩΣΤΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

Συντεταγμένες διανύσματος

Καθορισμός διανύσματος \vec{\alpha} ως γραμμίκο συνδυασμό των μοναδιαίων διανυσμάτων \vec{i} και \vec{j}.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Από τον ορισμό των συντεταγμένων ενός διανύσματος προκύπτει ότι:
“Δύο διανύσματα είναι ίσα, αν και μόνο αν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.”

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Μηδενικό και μη μηδενικό διάνυσμα

Επειδή το μηδενικό διάνυσμα έχει συντεταγμενες

    \[\vec{0}= (0,0)\]

Τότε για κάθε διάνυσμα \vec{\alpha}=(\mathrm{x,y}).
Ισχύουν τα εξής:

    \begin{align*} & \vec{\alpha}=\vec{0} \Leftrightarrow (\mathrm{x}=0 \quad \text{και} \quad \mathrm{y}=0) \\ & \vec{\alpha} \neq \vec{0} \Leftrightarrow (\mathrm{x} \neq 0\quad \text{ ή } \quad \mathrm{y} \neq 0). \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗΔΕΝΙΚΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Διανύσματα παράλληλα στους άξονες

Έστω ένα διάνυσμα

    \[\vec{\alpha} =(\mathrm{x,y}).\]

  • Το \vec{\alpha} είναι παράλληλο στον άξονα x'x, αν και μόνο αν η τεταγμένη του είναι ίση με 0. Δηλαδή:

        \[\vec{\alpha} \parallel x'x \Leftrightarrow y=0\]

Διάνυσμα {\vec{\alpha} παράλληλο στον x'x

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων

Αν \vec{\alpha}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και \vec{\beta}=(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2), τότε ισχύουν:

  • \vec{\alpha}+\vec{\beta}=(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)+(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2)=(\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2)
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}=\lambda \cdot (\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1)=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1, \lambda \cdot \mathrm{y_1}),\lambda \in \mathbb{R}
  • \lambda \cdot \vec{\alpha}+\mu \cdot \vec{\beta}=(\lambda \cdot \mathrm{x}_1 + \mu \cdot \mathrm{x}_2, \lambda \cdot \mathrm{y_1}+\mu \cdot \mathrm{y_2}), \lambda, \mu \in \mathbb{R}

Απόδειξη
Για τις συντεταγμένες του τυχαίου διανύσματος \vec{\alpha} ισχύουν:

Συνέχεια ανάγνωσης ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

 

Συντεταγμένες μέσου τμήματος
Έστω AB ένα ευθύγραμμο τμήμα με Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2). Αν Μ(\mathrm{x_M},\mathrm{y_M}) είναι το μέσο του τμήματος AB, τότε ισχύει ότι:

    \[\mathrm{x_M}=\frac{\mathrm{x}_1+\mathrm{x}_2}{2} \quad \text{και}\quad \mathrm{y_M}=\frac{\mathrm{y}_1+\mathrm{y}_2}{2}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ

Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Οι συντεταγμένες του διανύσματος \overrightarrow{AB} με αρχή το σημείο Α(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και τέλος (πέρας) το σημείο Β(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) υπολογίζονται ως εξής:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_{\text{τέλους}}-\mathrm{x}_{\text{αρχής}}\,\, , \,\,\mathrm{y}_{\text{τέλους}}-\mathrm{y}_{\text{αρχής}})\]

δηλαδή:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1 \, \,, \mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΑ ΑΚΡΑ