ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

Print Friendly, PDF & Email

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.

    1. Αν \vec{\alpha}^2 = 5\vec{\beta}(2\vec{\alpha} - 5\vec{\beta}), να αποδείξετε ότι \vec{\alpha}\uparrow \uparrow \vec{\beta}.
    2. Αν το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο και ισχύει \vec{\beta}^2 + \vec{\gamma}^2 = \vec{\alpha} \cdot (2\vec{\beta} - \vec{\alpha}), να υπολογίσετε την παράσταση Α = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}.
    3. Αν το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο και ισχύει |\vec{\beta}| = 2\sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1}, να αποδείξετε ότι \vec{\beta} = 2\vec{\alpha}.
    4.  Αν |\vec{\alpha}| = 2 και |\vec{\beta}| = \sqrt{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1}, να δείξετε ότι \vec{\alpha} = 2\vec{\beta}.
    5.  Αν τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} είναι μοναδιαία και ισχύει \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = 2, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} = \vec{\beta} = \vec{\gamma}.
    6. Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\nu} = \dfrac{|\vec{\beta}|}{|\vec{\alpha}|} \cdot \vec{\alpha} και \vec{\upsilon} = \dfrac{|\vec{\alpha}|}{|\vec{\beta}|} \cdot \vec{\beta}, να αποδείξετε ότι:i.).  \vec{\nu} \uparrow \uparrow \vec{\alpha} και |\vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha}|.
      ii.). |\vec{\nu} + \vec{\upsilon}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|.
    7.  Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν |\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}|, ~\vec{\alpha}\neq \vec{0} και |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = |\vec{\beta}|, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} \uparrow\downarrow \vec{\beta}.
    8.  Αν |\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = |\vec{\alpha} + \vec{\beta}|, να δείξετε ότι |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = |\vec{\alpha}|\sqrt{3}.
    9.  Αν |\vec{\alpha}| = 6 και |\vec{\beta}| = 2 και |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| \geq 8, να αποδείξετε ότι:i.). |\vec{\alpha} + \vec{\beta}| = 8.
      ii.).\vec{\alpha} = 3\vec{\beta}.

      ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.
    10.  Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} για τα οποία ισχύουν \vec{\beta} + 4\pi\rho o\beta_{\vec{\beta}}\vec{\alpha} = \vec{0}, ~2\vec{\alpha} + \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{\beta} = \vec{0}.
      i_). Να δείξετε ότι: |\vec{\beta}| = 2\sqrt{2}|\vec{\alpha}|.
      ii_). Να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
    11.  Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{\beta} = \dfrac{1}{4}\vec{\alpha} και \pi\rho o\beta_{\vec{\beta}}\vec{\alpha} = 2\vec{\beta}, να βρείτε την γωνία (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}).
    12.  Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} μοναδιαία και ισχύει \vec{\alpha} - 2\vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0}, να υπολογίσετε την παράσταση Α = \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} + \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}.
    13. Αν 2|\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = 4|\vec{\gamma}| = 4 και \vec{\alpha} + \vec{\beta} = 3\vec{\gamma}, αν υπολογίσετε την τιμή της παράστασης \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + \vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} + \vec{\gamma} \cdot \vec{\alpha}.
    14.  Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} ισχύει \vec{\alpha} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} και |\vec{\alpha}| = \dfrac{|\vec{\beta}|}{2} = \dfrac{|\vec{\gamma}|}{3}, να αποδείξετε ότι:
      i_). \vec{\beta} = 2\vec{\alpha}.
      ii_). \vec{\beta} \uparrow \downarrow \vec{\gamma}.
    15.  Αν για τα μη μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} ισχύει \vec{\alpha} + \vec{\beta} + \vec{\gamma} = \vec{0} και |\vec{\alpha}| = \dfrac{|\vec{\beta}|}{3} = \dfrac{|\vec{\gamma}|}{4}, να αποδείξετε ότι:
      i_). \vec{\beta} = 3\vec{\alpha}.
      ii_).. \vec{\alpha} \uparrow \downarrow \vec{\gamma}.
    16.  Αν \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{\gamma} = (3, 2) και \pi\rho o\beta_{\vec{\beta}}\vec{\gamma} = (2, -3),
      i_). Να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}.
      ii_). Να βρείτε το διάνυσμα \gamma.

      ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.
    17.  Αν για κάθε x \in \mathbb{R}, τα διανύσματα \vec{\alpha} + x\vec{\beta} και x\vec{\alpha} - \vec{\beta} είναι κάθετα μεταξύ τους και |\vec{\alpha}| = 1, να δείξετε ότι:
      i_). \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}.
      ii_). |\vec{\beta}| = 1.
      iii_). |3\vec{\alpha} + 4\vec{\beta}| = 5.
    18.  Έστω τα μοναδιαία διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} και το διάνυσμα \vec{\nu} = \vec{\alpha} + x\vec{\beta}, x \in \mathbb{R}. Να βρείτε το x, ώστε το |\vec{\nu}| να είναι ελάχιστο. Για την τιμή αυτή του x να δείξετε ότι το διάνυσμα \vec{\nu} είναι κάθετο στο \vec{\beta}.
    19.  Αν \vec{\beta}\neq \vec{0}, το διάνυσμα \vec{\alpha} είναι μοναδιαίο και η εξίσωση |\vec{\alpha} + x\vec{\beta}| = 1 έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}.
    20.  Έστω ότι για τα μη μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύει (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}) \cdot \vec{\alpha} = \vec{\alpha}^2 \cdot \vec{\beta}.
      i_). Να αποδείξετε ότι τα \vec{\alpha}, \vec{\beta} είναι συγγραμμικά.
    21. ii_). Αν τα διανύσματα \vec{\nu}, \vec{\upsilon} έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της εξίσωσης \vec{\alpha}^2 \cdot x^2 - 2(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})x + |\vec{\beta}|^2 = 0, να αποδείξετε ότι \vec{\nu} \parallel \vec{\upsilon}.
      ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Γ.
    22.  Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{x} ισχύουν \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} + 1 = 0 και (\vec{\alpha} \cdot \vec{x}) \cdot \vec{x} = 2\pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{x} + \vec{\beta}, να αποδείξετε ότι \vec{x} = 2\pi\rho\ o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{x} + \vec{\beta}.
    23.  Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (2, 1), \vec{\beta} = (-1, 1) και \vec{\gamma} = (3, 5). Να βρείτε το διάνυσμα \vec{x}, ώστε να είναι (\vec{x} \cdot \vec{\alpha})\vec{\beta} + 2\vec{x} = \vec{\gamma}.
    24. Αν \vec{x} + (\vec{x} \cdot \vec{\alpha})\vec{\beta} = \vec{\gamma} με 1 + \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} \neq 0, να αποδείξετε ότι:i_). \vec{x} \cdot \vec{\alpha} = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}}{1 + \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}},
      ii_). \vec{x} = \vec{\gamma} - \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\gamma}}{1 + \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}\cdot \vec{\beta}.
    25.  Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} με |\vec{\alpha}| = 2 και ότι για κάθε \kappa, \lambda \in \mathbb{R}, ισχύει (3\kappa \vec{\alpha} + 4\lambda\vec{\beta}) \perp (\lambda\vec{\alpha} - \kappa\vec{\beta}).i_). Να δείξετε ότι \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}.
      ii_). Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \vec{\beta} και \vec{\alpha} - 2\vec{\beta}.
    26.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν για το σημείο Μ ισχύει \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{\Gamma A}, να δείξετε ότι το Μ κινείται σε μια ευθεία.
    27.  Δίνονται τα σταθερά σημεία Α, Β με |\overrightarrow{AB}| = 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, ώστε \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 5.
    28.  Έστω Α, Β δύο σταθερά σημεία με ΑΒ = 3. Να βρείτε το σύνολο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = 9.
    29.  Έστω τα σημεία Α, Β με (ΑΒ) = 2. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει \overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{AM} - 2\overrightarrow{AB}) = 5.
    30.  Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διάμεσός του. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:
      \overrightarrow{AM}^2 = 2\overrightarrow{A\Delta} \cdot \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma}.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *