ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.

Print Friendly, PDF & Email
  1. Αν \vec{\alpha} = (3, \sqrt{3}) και \vec{\beta} = (\sqrt{3}, -1) να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  2. Αν \vec{\alpha} = (1, \sqrt{3}) και \vec{\beta} = (-\sqrt{3}, 3) να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  3. Αν \vec{\alpha} = (3, -4) και \vec{\beta} = \dfrac{1}{7}i + j, να βρείτε τη γωνία των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  4. Αν Α(4, 1), Β(8, 2), Γ(1, 3), να αποδείξετε ότι η γωνία των \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma} είναι αμβλεία.
  5. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (1, -7) και \vec{\beta} = (-3, \lambda). Αν (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 135^{\circ}, να βρείτε το \lambda.
  6. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(1, -2), Β(2, 3), Γ(0, 1). Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:i_). \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Gamma},
    ii_). \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{A\Delta}, όπου για το σημείο Δ ισχύει: \overrightarrow{B\Delta} = 2\overrightarrow{\Delta \Gamma}
    iii_). (\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{B\Gamma}) \cdot \overrightarrow{A\Gamma}, όπου Μ το μέσον του ΒΓ.

    ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.
  7. Αν \vec{\alpha} = (1, -1), \vec{\beta} = (1, 1), 2\vec{\nu} + \vec{\upsilon} = \vec{\beta} και \vec{\nu} + 2\vec{\upsilon} = \vec{\alpha}, να βρείτε:
    i_). τα διανύσματα \vec{\nu} και \vec{\upsilon},
    ii_). το \sigma\upsilon\nu(\widehat{\vec{\upsilon}, \vec{\nu}}).
  8. Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} ισχύει \vec{\alpha} + 3\vec{\beta} - \vec{\gamma} = \vec{0} και |\vec{\gamma}| = 3|\vec{\beta}|, να δείξετε ότι \vec{\alpha} \perp (\vec{\alpha} + 6\vec{\beta}).
  9. Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε τα διανύσματα \vec{\alpha} = (2x, 1), \vec{\beta} = (4x^2, -1) να είναι κάθετα.
  10. Να δείξετε ότι, για κάθε \lambda \in \mathbb{R}, τα διανύσματα \vec{\alpha} = (\lambda, \lambda - 1), ~\vec{\beta} = (\lambda + 2, -1) δεν είναι ορθογώνια.
  11. Αν |\vec{\alpha}| = 3 και |\vec{\beta}| = 6, να βρείτε το \lambda, ώστε τα διανύσματα \vec{\nu} = 3\vec{\alpha} + \lambda \vec{\beta} και \vec{\upsilon} = 3\vec{\alpha} - \lambda \vec{\beta}, να είναι κάθετα.
  12. Να βρείτε το διάνυσμα που είναι κάθετο στο \vec{\nu} = (1, 2) και έχει μέτρο \sqrt{5}.
  13. Έστω το διάνυσμα \vec{\alpha} = (-1, 2). Να βρείτε:i_). το διάνυσμα \vec{\nu}, ώστε \vec{\nu} \perp \vec{\alpha} και |\vec{\alpha}| = 5.
    ii_). το διάνυσμα \vec{\upsilon}, ώστε \vec{\upsilon} \parallel \vec{\alpha} και \vec{\alpha} \cdot \vec{\upsilon} = \sqrt{45}.

    ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.
  14. Δίνονται τα σημεία Α(3, 2), Β(7, -4). Να βρείτε σημείο Μ στον άξονα x'x, ώστε \widehat{AMB} = 90^{\circ}.
  15. \item Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha} = (1, 3), \vec{\beta} = (1, -2) και \vec{\gamma} = (4, -3). Να βρείτε τα διανύσματα \vec{\nu} = \kappa\vec{\alpha} + \mu\vec{\beta}, που είναι κάθετα στο \vec{\gamma} και έχουν μέτρο 5.
  16. Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha} = (1, 3), \vec{\beta} = (3, -1) και \vec{\gamma} = (-1, 0). Να βρείτε το διάνυσμα \vec{\nu} = \lambda\vec{\alpha} + \mu\vec{\beta}, ώστε να είναι |\vec{\nu}| = 10 και \vec{\nu} \perp \vec{\gamma}.
  17. Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha} = (4, -3) και \vec{\beta} = (-2, 7). Να βρείτε διάνυσμα \vec{\gamma}, ώστε να είναι \vec{\gamma} \perp (\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}) και \vec{\gamma}^2 = \vec{\alpha}^2.
  18. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta}, για τα οποία ισχύουν: |\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = 1 και (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 1) \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}. Να αποδείξετε ότι τα \vec{\alpha}, \vec{\beta} είναι ίσα ή αντίθετα.
  19. Αν \vec{\alpha} = (5, 2) και \vec{\beta} = (7, -3), να βρείτε το διάνυσμα \vec{x}, ώστε: \vec{\alpha} \cdot \vec{x} = 38 και \vec{\beta}\cdot \vec{x} = 30.
  20. Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν: \vec{\alpha} \perp \vec{\beta}, ~(\vec{\alpha} + \vec{\beta}) \perp (\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}) και |\vec{\alpha} - \vec{\beta}| = 2, να βρείτε τα |\vec{\alpha}|, |\vec{\beta}|.
  21. Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3}, ~(\vec{\alpha} - 2\vec{\beta}) \perp (\vec{\alpha} + 2\vec{\beta}) και |\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}| = 19\sqrt{19}, να υπολογίσετε τα μέτρα των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  22. Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύουν: \dfrac{|\vec{\alpha} + \vec{\beta}|}{|\vec{\alpha}|} = \sqrt{2} και η γωνία των διανυσμάτων \vec{\alpha} + \vec{\beta}, \vec{\alpha} είναι 45^{\circ}, να αποδείξετε ότι:
    i_). \vec{\alpha} \perp \vec{\beta},
    ii_). |\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}|.
    ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΜΕΡΟΣ Β.
  23. Να αποδείξετε ότι:
    i_). \pi\rho o\beta_{\vec{\beta}}\vec{\alpha} = \dfrac{(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}) \cdot \vec{\beta}}{|\vec{\beta}|^2}.
    ii_). αν \vec{\alpha} = (2, 3) και \vec{\beta} = (-1, 4), να βρείτε την προβολή του \vec{\alpha} πάνω στο \vec{\beta}.
  24. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος \vec{\alpha} = (-1, 2) στο διάνυσμα \vec{\beta} = (3, -4).
  25. Αν |\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 2 και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 60^{\circ}, να βρείτε την προβολή του διανύσματος \vec{\nu} = 2\vec{\alpha} - \vec{\beta} πάνω στο διάνυσμα \vec{\alpha}.
  26. Αν τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} είναι μοναδιαία και κάθετα, να βρείτε την προβολή του \vec{\nu} = \vec{\alpha} + \vec{\beta} πάνω στο \vec{\upsilon} = \vec{\alpha} - 2\vec{\beta}.
  27. Αν \vec{\alpha} = (-1, 2), \vec{\beta} = (4, 3) και \vec{\nu} = (\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})\vec{\alpha} - 3 \vec{\beta}, να βρείτε την \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}\vec{\nu}.
    \item Έστω \vec{\alpha} = (4, -3) και \vec{\beta} = (1, -3). Να υπολογίσετε το |\pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}(\vec{\alpha} - 2\vec{\beta})|.
  28. Αν |\vec{\alpha}| = 1, |\vec{\beta}| = 2 και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{2\pi}{3}, να βρείτε το \lambda ώστε\\
    \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}(\lambda\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = -2\vec{\alpha}.
  29. Αν \vec{\alpha} = (1, 3), \vec{\beta} = (4, -3) και ισχύει \pi\rho o\beta_{\vec{\alpha}}(\lambda\vec{\alpha} + \vec{\beta}) = -\dfrac{4}{5}\vec{\alpha}, να βρείτε το \lambda.
  30. Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta}\neq \vec{0} και ισχύουν \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = \vec{\alpha}^2 και \pi\rho o\beta(\vec{\alpha} + x\vec{\beta}) = (3 - x)\vec{\alpha}, να βρείτε το x.
  31. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(2, -1), Β(-1, 4), Γ(3, -2) και ΑΜ διάμεσος. Να βρείτε την προβολή του \overrightarrow{AM} πάνω στο \overrightarrow{B\Gamma}.
  32. Δινεται τρίγωνο ΑΒΓ με (ΑΒ) = 3, (ΑΓ) = 4, \widehat{ΒΑ\Gamma} = 120^{\circ}, και ΑΜ διάμεσος. Να υπολογίσετε την \pi\rho o\beta_{\overrightarrow{A\Gamma}}\overrightarrow{AM}.
  33. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με \overrightarrow{AB} = (-1, 0), ~\overrightarrow{A\Gamma} = (2, 1) και \overrightarrow{A\Delta} το ύψος του. Να βρείτε το διάνυσμα \overrightarrow{A\Delta}.
  34. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (2, 7) και \vec{\beta} = (1, -3). Να αναλύσετε το διάνυσμα \vec{\alpha} σε δύο συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο \vec{\beta} και η άλλη κάθετη στο \vec{\beta}.
  35. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (1, 2) και \vec{\beta} = (3, 4). Να βρείτε τα διανύσματα \vec{p} και \vec{q}, ώστε να είναι: \vec{\alpha} = \vec{p} + \vec{q}, ~\vec{p} \parallel \vec{\alpha} και \vec{q} \perp \vec{\beta}.
  36. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (-2, 1) και \vec{\beta} = (1, 3). Να αναλύσετε το διάνυσμα \vec{\alpha} σε δύο συνιστώσες \vec{\gamma} και \vec{\delta}, ώστε \vec{\gamma} \perp \vec{\alpha} και \vec{\delta} \parallel \vec{\beta}.
  37. Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha} = (3, -4) και \vec{\beta} = (5, 10). Να αναλύσετε το διάνυσμα \vec{\beta} σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η μία να είναι παράλληλη στο \vec{\alpha}.
  38. Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} με |\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}| και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 120^{\circ}.
    i_). Να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} - 3\vec{\beta} \neq \vec{0}.
    ii_). Να βρείτε διάνυσμα \vec{x}, ώστε \vec{x} \parallel (\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}) και \vec{\alpha}\perp (\vec{\beta} - \vec{x}).
  39. Αν |\vec{\alpha}| = |\vec{\beta}| = 1 και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = \dfrac{\pi}{3}, να βρείτε διάνυσμα \vec{x}, τέτοιο ώστε \vec{x} \parallel (\vec{\alpha} + \vec{\beta}) και \vec{\beta} \perp (\vec{\alpha} + \vec{x}).
  40. Δίνονται τα κάθετα και μη μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} για τα οποία ισχύει |\vec{\alpha}| = 2|\vec{\beta}|. Να βρείτε τα διανύσματα \vec{x}, \vec{y}, ώστε: \vec{x} \parallel (\vec{\alpha} - 3\vec{\beta}), ~\vec{y} \perp (\vec{\alpha} - \vec{\beta}) και \vec{x} - \vec{y} = \vec{\alpha} - \vec{\beta}.
  41. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha} = (-3, 4) και \vec{\beta} = (-2, -3). Να βρείτε τα διανύσματα \vec{x}, \vec{y}, ώστε να είναι: \vec{\alpha} = 2\vec{x} - 3\vec{y}, ~\vec{x} \perp \vec{y}, ~\vec{y} \parallel \vec{\beta}.
  42. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} για τα οποία ισχύουν: |\vec{\beta}| = 2|\vec{\alpha}| = 2 και (\widehat{\vec{\alpha}, \vec{\beta}}) = 60^{\circ}. Να βρείτε το διάνυσμα \vec{x} = \lambda \vec{\alpha} + \mu \vec{\beta} για το οποίο είναι: |\vec{x}| = 9 και \vec{x} \perp \vec{\alpha}.
  43. Αν \vec{\beta} \neq \vec{0} και \vec{\alpha} = \vec{\nu} + \vec{\upsilon} με \vec{\nu} \parallel \vec{\beta} και \vec{\upsilon} \perp \vec{\beta}, να αποδείξετε ότι:\\
    \vec{\nu} = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{\vec{\beta}^2} \cdot \vec{\beta}.
  44. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα \vec{\nu} = \vec{\beta} - \dfrac{(\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta})\vec{\alpha}}{\vec{\alpha}^2} είναι κάθετο στο \vec{\alpha}.
  45. Αν \vec{\nu} = \dfrac{\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta}}{\vec{\beta}^2} \cdot \vec{\beta} και \vec{\upsilon} = \vec{\nu} - \vec{\alpha}, να αποδείξετε ότι:
    i_). \vec{\nu} \perp \vec{\upsilon}
    ii_0. αν \vec{\alpha} \parallel \vec{\beta}, τότε \vec{\nu} = \vec{\alpha}.

Βιβλιογραφία: Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *