ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Να αποδείξετε ότι $\hm^2\grv+\syn^2\grv=1.$
Αν $M(x, y)$ είναι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας $\grv$ τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θα είναι:

Η τετμημένη x= ημ ω και η τεταγμένη y =συν ω του σημείου M(x,y)

$x = \syn\omega \quad \text{και} y = \hm\omega.$

Επειδή όμως, $(OM) =1$
Από την εφαρμογή του Πυθαγορείου Θεωρήματος στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος έχουμε:

$(ΟΜ)^2= |x|^2 + |y|^2 \Rightarrow$

$1^{2} =x^2 + y^2\Rightarrow$

$x^2+y^2=1$

συνεπώς:

$\hm^2\grv+\syn^2\grv=1.$
Να αποδείξετε ότι $\ef \omega=\dfrac{\hm \omega}{\syn\omega}$ και $\snf \omega=\dfrac{\syn \omega}{\hm \omega}$
Στο ίδιο σχήμα έχουμε: $\ef\omega=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\hm\omega}{\syn\omega}$ (εφόσον $x=\syn\omega \neq 0 )$

$\snf\omega =\dfrac{x}{y}=\dfrac{\syn\omega}{\hm\omega}$ (εφόσον $y=\hm\omega\neq 0)$
Να αποδείξετε ότι $\efv\cdot\snf\omega=1.$
Είναι:
$\ef\omega =\dfrac{\hm \omega}{\syn\omega}$ και $\snf \omega =\dfrac{\syn\omega}{\hm\omega}$ (εφόσον $\syn\omega \neq 0$ και $\hm\omega\neq 0)$
Επομένως:

$\ef \omega\cdot\snf \omega=\dfrac{\hm \omega}{\syn \omega} \cdot \dfrac{\syn \omega}{\hm \omega}=1.$
Να αποδείξετε ότι $\syn^2\grv=\dfrac{1}{1+\ef^2\grv}$ Διαιρούμε και τα δύο μέλη της ταυτότητας $\hm^2\grv + \syn^2\grv = 1$ με $\syn^2\grv \neq 0$
και έχουμε:

$$\hm^2\grv + \syn^2\grv = 1\Leftrightarrow$

$\dfrac{\hm^2 \grv }{\syn^2 \grv } + \dfrac{\syn^2 \grv}{\syn^2 \grv }=\dfrac{ 1}{\syn^2\grv } \Leftrightarrow$

$\Big(\dfrac{\hm \grv }{\syn \grv }\Big)^2 + \dfrac{\syn^2 \grv}{\syn^2 \grv }=\dfrac{ 1}{\syn^2\grv } \Leftrightarrow$

$\ef^2\grv+1=\dfrac{ 1}{\syn^2\grv }\Leftrightarrow$

${\syn^2\grv }=\dfrac{1}{\ef^2\grv+1}.$

ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Να αποδείξετε ότι $\hm^2\grv=\dfrac{\ef^2\grv}{1+\ef^2\grv}$
Αν στην ταυτότητα $\hm^2\grv + \syn^2\grv = 1$ θέσουμε $\syn^2\grv=\dfrac{1}{1+\ef^2\grv}$ έχουμε:

$\hm^2\grv + \syn^2\grv = 1\Leftrightarrow$

$\hm^2\grv + \dfrac{1}{1+\ef^2\grv} = 1 \Leftrightarrow$

$\hm^2\grv = 1 - \dfrac{1}{1+\ef^2\grv}\Leftrightarrow$

$\hm^2\grv = \dfrac{1+\ef^2\grv}{1+\ef^2\grv}- \dfrac{1}{1+\ef^2\grv}\Leftrightarrow$

$\hm^2\grv = \dfrac{1+\ef^2\grv-1}{1+\ef^2\grv}\Leftrightarrow$

$\hm^2\grv=\dfrac{\ef^2\grv}{1+\ef^2\grv}$