ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

Ερωτήσεις και απαντήσεις Θεωρίας τριγωνομετρικών αριθμών αθροίσματος και διαφοράς και αποδείξεις των τριγωνομετρικών τύπων.

     \begin{enumerate} \item \textbf{Με τι ισούται το συνημίτονο της διαφοράς δύο γωνιών \\ $\gra$ και $\grb$? } \\Ας θεωρήσουμε δυο γωνίες $\gra,\grb.$ Τότε $$\syn (\gra − \grb) = \syn\gra \cdot \syn\grb + \hm\gra \cdot \hm\grb$$ Η ισότητα αυτή ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες $\gra,\grb.$ \item \textbf{Να αποδείξετε ότι $\syn (\gra + \grb) = \syn\gra \cdot \syn\grb - \hm\gra \cdot \hm\grb.$ } \\ Ισχύει ότι: $\syn (\gra − \grb) = \syn\gra \cdot \syn\grb + \hm\gra \cdot \hm\grb$ \\ Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το $\grb$ με το $−\grb,$ \\ έχουμε: \\ $\syn (\gra −(-\grb)) = \syn\gra \cdot \syn(-\grb) + \hm\gra \cdot \hm(-\grb)$ \\ Eπομένως: $$\syn (\gra + \grb) = \syn\gra \cdot \syn\grb - \hm\gra \cdot \hm\grb$$ \item \textbf{Να αποδείξετε ότι $\hm(\gra + \grb) = \hm\gra\cdot \syn\grb + \syn\gra\cdot\hm\grb.$ } \\ Ισχύει ότι: $\syn (\gra − \grb) = \syn\gra \cdot \syn\grb + \hm\gra \cdot \hm\grb$ (σχέση 1) \\ Επειδή $\syn(\dfrac{\grp}{2}-x)=\hmx$ και $\hm(\dfrac{\grp}{2}-x)=\synx,$ και με τη \\ βοήθεια της σχέσης 1 έχουμε: $$\hm(\gra + \grb)  = $$ $$ \syn(\dfrac{\grp}{2}-(\gra+\grb)) = $$  $$\syn(\dfrac{\grp}{2} -\gra)+\grb))= $$ $$ \syn(\dfrac{\grp}{2} -\gra)\syn\grb  +\hm(\dfrac{\grp}{2} -\gra)\hm\grb = $$ $$\hm\gra\cdot \syn\grb & + \syn\gra\cdot\hm\grb.$$

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ

     \begin{enumerate}[i] \item \textbf{Να αποδείξετε ότι $\hm(\gra - \grb) = \hm\gra\cdot \syn\grb - \syn\gra\cdot\hm\grb.$} \\ Ισχύει ότι $\hm(\gra + \grb) = \hm\gra\cdot \syn\grb + \syn\gra\cdot\hm\grb.$ \\Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε  \\το $\grb$ με $−\grb$ έχουμε: \\ $\hm(\gra + (-\grb)) = \hm\gra\cdot \syn(-\grb) + \syn\gra\cdot\hm(-\grb)$ \\ Eπομένως: $$\hm(\gra - \grb) = \hm\gra\cdot \syn\grb - \syn\gra\cdot\hm\grb.$$ \item \textbf{Να αποδείξετε ότι $\ef(\gra+\grb)=\dfrac{\ef\gra+\ef\grb}{1-\ef\gra\cdot \ef\grb}.$} \\ Για να ορίζονται οι $\ef(\gra+\grb), \ef\gra$ και $\ef\grb,$ πρέπει: \begin{center} $\syn(\gra+\grb)\neq 0, \syn\gra \neq 0$ και $\syn\grb \neq 0.$ \end{center} Με την προϋπόθεση αυτή έχουμε: $$\ef(\gra+\grb)=\dfrac{\hm(\gra+\grb)}{\syn(\gra+\grb)}= \dfrac{\hm\gra\cdot \syn\grb + \syn\gra\cdot\hm\grb}{\syn\gra \cdot \syn\grb - \hm\gra \cdot \hm\grb}$$ Διαιρούμε αριθμητή και παρανομαστή με $\syn\gra\cdot\syn\grb \neq 0$ και έχουμε: $$=\dfrac{\dfrac{\hm\gra\cdot \syn\grb}{\syn\gra\cdot\syn\grb} + \dfrac{\syn\gra\cdot\hm\grb}{\syn\gra\cdot\syn\grb}} {\dfrac{\syn\gra \cdot \syn\grb}{\syn\gra\cdot\syn\grb} - \dfrac{\hm\gra \cdot \hm\grb}{\syn\gra\cdot\syn\grb}} \Rightarrow \ef(\gra+\grb)=\dfrac{\ef\gra+\ef\grb}{1-\ef\gra\cdot \ef\grb}$$ \item \textbf{Να αποδείξετε ότι $\ef(\gra-\grb)=\dfrac{\ef\gra-\ef\grb}{1+\ef\gra\cdot \ef\grb}.$} \\ Ισχύει ότι $\ef(\gra+\grb)=\dfrac{\ef\gra+\ef\grb}{1-\ef\gra\cdot \ef\grb}.$ \\ Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουμε το $\grb$ με $−\grb$ έχουμε: $$\ef(\gra+(-\grb))=\dfrac{\ef\gra+\ef(-\grb)}{1-\ef\gra\cdot \ef(-\grb)}.$$ Επομένως: $$\ef(\gra-\grb)=\dfrac{\ef\gra-\ef\grb}{1+\ef\gra\cdot \ef\grb}.$$ \item \textbf{Τι ισχύει για την συνεφαπτομένη αθροίσματος και διαφοράς δύο γωνιών?} \\ $\snf(\gra+\grb)=\dfrac{\snf\gra\cdot\snf\grb-1}{\snf\grb+\snf\gra}$  \\και \\ $\snf(\gra-\grb)=\dfrac{\snf\gra\cdot\snf\grb+1}{\snf\grb-\snf\gra}$ \end{enumerate}

Βιβλιογραφία:
Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *