ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΧΙ 1-1

Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΧΙ 1-1

Συνήθως, οι συναρτήσεις που περιέχουν στον αλγεβρικό τους τύπο, x^{2}, \,\, \syn x, \,\, \hm x ή απολυτες τιμες του x δεν είναι συναρτήσεις ένα προς ένα 1-1. Σε αυτές τις περιπτωσεις προσπαθούμε να βρούμε κατάλληλο αντιπαράδειγμα ώστε να μην ισχύει ο ορισμός

    \[x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΧΙ 1-1

  1. Παρατηρούμε ότι f(0) =f(1)=1 άρα η f όχι 1-1.
  2. Παρατηρούμε ότι f(0) =f(1)=0 άρα η f όχι 1-1.
  3. Η f(x) =\sigma\upsilon\nu x +x\eta\mu x. έχει πεδίο ορισμού A_{f}=\mathbb{R.}
    οπότε για κάθε x\in A_{f} και -x \in A_{f}.
    επίσης

        \begin{align*} f(-x)=& \sigma\upsilon\nu(- x) +(-x)\cdot\eta\mu (-x)\\ =& \sigma\upsilon\nu x +(-x)\cdot\big(-\eta\mu x\big)\\ =& \sigma\upsilon\nu x +x\cdot\eta\mu x\\ =& f(x). \end{align*}

    Άρα η f είναι άρτια επομένως δεν είναι 1-1.

  4. Για να βρούμε κατάλληλες τιμές για τα x_{1}, \, x_{2} επιλέγουμε μια τυχαία τιμή για να εξισώσουμε το |x-1| π.χ. το 2
    έχουμε:

        \begin{align*} |x-1|=2 &\Rightarrow \begin{cases} x-1 =2 \\ \quad \text{ή} \\ x-1 =-2 \end{cases}\\\\ &\Rightarrow \begin{cases} x=2+1 \\ \quad \text{ή} \\ x =-2 +1\end{cases}\\\\ &\Rightarrow \begin{cases} x=3 \\ \quad \text{ή} \\ x =-1\end{cases} \end{align*}

    Οπότε η f(x) = |x-1|-3
    για x_{1} = 3 δίνει:

        \[f(3)=|3-1|-3\Rightarrow f(3)= 2-3\Rightarrow f(3)=-1\]

    και για x_{2}=-1 έχουμε:

        \[f(-1)=|-1-1|-3\Rightarrow f(-1)= |-2|-3\Rightarrow\]

        \[f(-1)=2-3 \Rightarrow f(-1)=-1.\]

    δηλαδή: f(3)= f(-1) άρα η f όχι 1-1.

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα. Δ.Α.Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *