ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
1. Έχουμε:

    \begin{align*} \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= &\Big(\dfrac{0-4}{3\cdot 0 -\hm 0}\Big)\\\\\ = &\Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{?}\Big) =?\infty \end{align*}

Δηλαδή έχουμε όριο της μορφής \Big(\dfrac{\alpha}{0}\Big) με \alpha\neq 0, το οποίο θα μας δώσει \infty αλλά επειδή δεν γνωρίζουμε το πρόσημο του παρονομαστή δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο του απείρου.

Γνωρίζουμε ότι για κάθε x\in \rrισχύει:

    \[|\hm x| \leq |x|\]

To ``=" ισχύει για x=0 MONON.
Oπότε θα ισχύει και για x=3x έχουμε:

    \[|\hm 3x| \leq |3x| \Leftrigtharrow\]

    \[-|3x|\leq \hm 3x \leq|3x| \Leftrigtharrow\]

    \[-|3x|\leq \hm 3x \leq |3x| \quad (1)\]

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

ΠΕΡ.1.

x> 0 \Rightarrow \begin{cases} |3x| = 3x \\  \text{και}\\ x\to 0^{+} \end{cases}
Οπότε

    \[(1) \Rightarrow - 3x < \hm 3x < 3x\]

    \[\Rightarrow \begin{cases} -3x < \hm 3x \\ \text{και} \\ \hm 3x < 3x. \end{cases}\]

απο τις παραπάνω διατάξεις κρατάμε την \hm 3x < 3x απο όπου έχουμε

    \[0 < 3x - \hm 3x.\]

Συνεπώς

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= \Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{+}\Big) =+\infty\]

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

ΠΕΡ.2.

x<0 \Rightarrow \begin{cases} |3x| = -3x \\  \text{και}\\ x\to 0^{-} \end{cases}
Οπότε

    \[(1) \Rightarrow - (-3x) < \hm 3x < - 3x\]

    \[\Rightarrow 3x < \hm 3x < - 3x\]

    \[\Rightarrow \begin{cases} 3x < \hm 3x \\ \text{και} \\ \hm 3x < -3x. \end{cases}\]

απο τις παραπάνω διατάξεις κρατάμε την 3x <\hm 3x απο όπου έχουμε

    \[3x -\hm 3x < 0.\]

Συνεπώς

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}= \Big(\dfrac{-4}{0}\Big)\Big(\dfrac{-}{-}\Big) =-\infty.\]

Από περ.1. και περ.2. έχουμε:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}\neq \displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}.\]

Οπότε από κριτήριο πλευρικώ ορίων το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x-4}{3x-\hm 3x}\]

δέν υπάρχει.

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

2. Ισχύει ότι: \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x^{2}+1}{\hm x} =\big( \dfrac{+1}{0}\big)\big(\dfrac{+}{?}\big) = ?\infty.

Για το \hm x, που είναι στον παρονομαστή, ξέρουμε ότι κοντά στο 0 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο πράγμα που φαίνεται και απο τη γραφική παράσταση y = \hm x.

Δείτε τη συνέχεια της λύσης στο παράδειγμα 5 ΕΔΩ: ΟΡΙΟ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΟΡΙΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΗΔΕΝ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΔΙΑΦΟΡΟ ΤΟΥ ΜΗΔΕΝΟΣ

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *