ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ


Έστω (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) δύο ευθείες με συντελεστές διεύθυνσης
\lambda_{1} και \lambda_{2} αντίστοιχα.
Αν τα διανύσματα \vec{\delta_{1}} και \vec{\delta_{2}} είναι παράλληλα προς τις (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) αντίστοιχα, τότε έχουμε τις ισοδυναμίες:
(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \parallel \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2}

και

(\epsilon_{1}) \perp (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \vec{\delta_{1}} \perp \vec{\delta_{2}} \Leftrightarrow \lambda_{1} \lambda_{2} = -1

Με τον συμβολισμό (\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) εννοούμε ότι οι ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

Σημείωση

  • Αν μια ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta τότε έχει συντελεστή διαύθυνσης ίσο με \lambda.
  • Αν οι ευθείες (\epsilon_{1}) και (\epsilon_{2}) έχουν συντελεστές διεύθυνσης \lambda_{1} και \lambda_{2} αντίστοιχα, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες:

        \[\bullet \,\,(\epsilon_{1}) \parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \lambda_{1} = \lambda_{2}\]


        \[\bullet \,\,(\epsilon_{1}) \perp (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow \lambda_{1}\cdot \lambda_{2} = -1\]

 

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

α) ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία

    \[(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = (α^2+3α)\mathrm{x} + 4\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{1} = α^2+3α,
ενώ η ευθεία

    \[(\epsilon_{2}): \mathrm{y} = (α + 8)\mathrm{x} - 21\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{2} = α + 8.
Έχουμε:

    \[(\epsilon_{1})\parallel (\epsilon_{2}) \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{1} = \lambda_{2} \Leftrightarrow\]

    \[α^2+3α = α + 8 \Leftrightarrow\]

    \[α^2 + 2α - 8 = 0 \Leftrightarrow (α = 2 \,\text{ή}\, α = -4)\]

Αφού το τριώνυμο α^2 + 2α - 8 = 0
έχει διακρίνουσα

    \[\Delta = 2^{2}-4\cdot 1 \cdot{(-8)}=+36\]

και οι ρίζες του τριωνύμου θα δίνονται απο τον τύπο:

    \[\alpha_{1,2}=\dfrac{-2\pm \sqrt{36}}{2\cdot 1}\]

    \[\begin{cases} \alpha_{1}=\dfrac{-2+ \sqrt{36}}{2}= \dfrac{-2+ 6}{2}=2\\\\ \alpha_{2}=\dfrac{-2- \sqrt{36}}{2} =\dfrac{-2- 6}{2}=-4 \\\\ \end{cases}\]

 

ΚΑΘΕΤΕΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

β) ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία

    \[(\epsilon_{3}): \mathrm{y} = (α + 1)\mathrm{x} - 7\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{3} = α +1,
ενώ η ευθεία

    \[(\epsilon_{4}): \mathrm{y} = \dfrac{(α - 3)\mathrm{x} + 13}{4} \Leftrightarrow \mathrm{y} = \frac{α - 3}{4} \mathrm{x} + \frac{13}{4}\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{4} = \dfrac{α - 3}{4}.
Έχουμε:

    \[(\epsilon_{3} )\perp (\epsilon_{4}) \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{3} \cdot \lambda_{4} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[(α + 1) \cdot \frac{α - 3}{4} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[(α + 1)(α - 3) = -4 \Leftrightarrow\]

    \[α^2 + α - 3α - 3 = -4 \Leftrightarrow\]

    \[α^2 + α - 3α - 3 +4= 0 \Leftrightarrow\]

    \[α^2 -2α +1 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[(α -1)^2=0 \Leftrightarrow α = 1.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *