ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Print Friendly, PDF & Email
  1. Δίνονται τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} στο επόμενο σχήμα.

    Να κατασκευάσετε τα διανύσματα: 2\vec{\alpha}, ~-\dfrac{1}{2}\vec{\beta}, ~-\vec{\alpha} + 2\vec{\beta}
  2.  Να προσδιορίσετε γραφικά το σημείο Μ στο επίεπδο του τριγώνου ΑΒΓ, ώστε να ισχύει:i) \overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{A\Gamma},

    ii) \overrightarrow{AM} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA} - \dfrac{1}{2} \overrightarrow{B\Gamma}.

  3.  Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ στο σιπλανό σχήμα με \overrightarrow{\Delta\Gamma} = \vec{\alpha} και \overrightarrow{A\Delta} = \vec{\beta}. Αν το Ε είναι μέσον του ΑΒ και ισχύει \overrightarrow{BZ} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{B\Gamma}, να εκφράσετε συναρτήσει των διανυσμάτων \vec{\alpha}, \vec{\beta} τα διανύσματα \overrightarrow{\Delta E}, \overrightarrow{\Delta Z}, \overrightarrow{EZ}.
  4.  Να βρείτε το διάνυσμα \vec{x} σε κάθε μια από τις περιπτώσεις:i) 2(\vec{x} - \vec{\alpha}) - \dfrac{1}{2}(3\vec{x} - \vec{\beta}) = 2\vec{\alpha},ii) |\vec{\alpha}|(\vec{\beta} - \vec{x}) = \vec{x}.
  5.  Αν \vec{\alpha} - \dfrac{1}{2}\vec{\beta} - 3\vec{\gamma} = \vec{0}, να γράψετε το \vec{\beta} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{\alpha}, \vec{\gamma}.
  6.  Να βρείτε τα διανύσματα \vec{x}, \vec{y} στις παρακάτω περιπτώσεις:i) \left\{\begin{array}{ll}\vec{x} + \vec{y} =\vec{\alpha}\\ \vec{x} - \vec{y} =\vec{\beta}.\end{array} \right.ii) \left\{\begin{array}{ll}\vec{x} - 2\vec{y} =\vec{\upsilon}\\ \vec{x} + \vec{y} =\vec{\nu}.\end{array} \right.
  7.  Έστω τα διανύσματα \vec{\alpha} και \vec{\alpha}_0 = -\dfrac{1}{|\vec{\alpha}|} \cdot \vec{\alpha}. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα \vec{\alpha}_0 είναι μοναδιαίο και αντίρροπο του \vec{\alpha}.
  8.  Αν για τα διανύσματα \vec{\alpha}, \vec{\beta} ισχύει: \vec{\alpha} = |\vec{\alpha}| \cdot \vec{\beta} και \vec{\beta} = |\vec{\beta}| \cdot \vec{\alpha}, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} = \vec{\beta}.
  9.  Αν ισχύει \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{M\Gamma} = \overrightarrow{NA} + 2\overrightarrow{NB} + 3\overrightarrow{N\Gamma}, να δείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν ταυτίζονται.
  10.  Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta}, 2\vec{\alpha} - 3\vec{\beta} οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α, Β, Γ αντίστοιχα ως προς το σημείο Ο, να εκφράσετε τα διανύσματα \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A\Gamma}, \overrightarrow{\Gamma B} με τη βοήθεια των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  11.  Αν \vec{\alpha}, \vec{\beta} τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β ως προς το σημείο Ο, να βρεθεί το διάνυσμα θέσης \vec{x} του σημείου Γ ως προς το Ο, ώστε να ισχύει:i) \overrightarrow{A\Gamma} = 2 \overrightarrow{B\Gamma}ii) 2\overrightarrow{\Gamma B} = -3\overrightarrow{A\Gamma}
  12.  Αν στο επόμενο σχήμα:

    2(B\Delta) = 3(\Gamma\Delta), να εκφράσετε το διάνυσμα \vec{x} συναρτήσει των \vec{\alpha} και \vec{\beta}.
  13.  Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Ε στην πλευρά ΑΒ, ώστε (ΑΕ) = 3(ΒΕ). Αν \overrightarrow{AB} = \vec{\alpha} και \overrightarrow{A\Delta} = \vec{\beta,} να εκφράσετε τα διανύσματα \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{\Delta E} και \overrightarrow{\Gamma E} συναρτήσει των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  14.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημείο Δ της ευθείας ΒΓ, ώστε τα Δ, Γ να βρίσκονται εκατέρωθεν του Β και να ισχύει: 3(B\Delta) = 2(B\Gamma). Αν \overrightarrow{AB} = \vec{\alpha} και \overrightarrow{A\Gamma} = \vec{\beta}, να εκφράσετε το διάνυσμα \overrightarrow{A\Delta} συναρτήσει των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.
  15.  Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα \vec{\nu} = 2\vec{\alpha} - \vec{\beta} + \dfrac{4}{3}\vec{\gamma} και \vec{\upsilon} = \dfrac{3}{2}\vec{\alpha} - \dfrac{3}{4} \vec{\beta} + \vec{\gamma} είναι συγγραμμικά.
  16.  Αν οι διανυσματικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ, Δ είναι αντίστοιχα, \vec{\alpha}, \vec{\beta}, 4\vec{\alpha} - \vec{\beta}, \vec{\alpha} + 2\vec{\beta}, να δείξετε ότι: \overrightarrow{AB} \uparrow \uparrow \overrightarrow{\Gamma\Delta}.
  17.  Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο του σχήματος είναι τραπέζιο.
  18.  Αν τα σημεία Α, Β δε συμπίπτουν, να βρείτε στις παρακάτω περιπτώσεις τις σχετικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ.i)\overrightarrow{A\Gamma} = 3\overrightarrow{\Gamma B}.ii) \overrightarrow{A\Gamma} = -3\overrightarrow{\Gamma B}.

    iii)  3\overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{\Gamma B} = \vec{0}.

  19.  Δίνονται τα διαφορετικά σημεία Α, Β και \vec{\alpha}, \vec{\beta} τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης αυτών. Αν ισχύει 3\overrightarrow{A\Gamma} + 2\overrightarrow{\Gamma B} = \vec{0}, να βρείτε:i) το διάνυσμα θέσης του σημείου Γ.ii) τη σχετική θέση των σημείων Α, Β, Γ.
  20.  Αν το διάνυσμα \vec{\nu} είναι μοναδιαίο και \vec{\alpha} = 2\vec{\nu} - 3\vec{\upsilon}, ~\vec{\beta} = 5\vec{\nu} - 2\vec{\upsilon}, να αποδείξετε ότι το διάνυσμα \vec{\gamma} = 2\vec{\alpha} - 3\vec{\beta} είναι αντίρροπο του \vec{\nu} και να βρείτε το μέτρο του διανύσματος \vec{\gamma}.
  21.  Στο επόμενο σχήμα να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Γ, Ε είναι συνευθειακά.
  22.  Αν \overrightarrow{OA} = \vec{\alpha}, ~\overrightarrow{OB} = 3\vec{\beta} και \overrightarrow{O\Gamma} = 6\vec{\beta} - \vec{\alpha}, να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  23.  Αν οι διανυσματικές θέσεις των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο είναι αντίστοιχα \vec{\alpha} + \vec{\beta}, 2\vec{\alpha} + 3\vec{\beta}, 5\vec{\alpha} + 9\vec{\beta}, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  24.  Αν τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο είναι \vec{x} = \vec{\alpha} + \vec{\beta} + \vec{\gamma}, ~\vec{y} = 2\vec{\alpha} + 3\vec{\beta} + 4\vec{\gamma}, ~\vec{z} = 4\vec{\alpha} + 7\vec{\beta} + 10\vec{\gamma} αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  25.  Δίνεται το τραπέζιο στο επόμενο σχήμα.


    Αν (\Gamma\Delta) = 3(AB), (E\Gamma) = 3(EA), \overrightarrow{AB} = \vec{\alpha} και \overrightarrow{B\Gamma} = \vec{\beta},i) να εκφράσετε συναρτήσει των \vec{\alpha} και \vec{\beta} τα διανύσματα \overrightarrow{A\Gamma}, \overrightarrow{AE}, \overrightarrow{BE}, \overrightarrow{B\Delta}.ii) να δείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.
  26.  Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} τα διανύσματα θέσης των σημείων Α, Β, Γ ως προς το σημείο Ο αντίστοιχα.i) Να βρείτε το διάνυσμα θέσης των σημείων:a) Δ,
    b) Ε, το οποίο είναι το μέσο του ΑΔ,
    c) Ζ, για το οποίο ισχύει: 2\overrightarrow{AZ} = \overrightarrow{Z\Gamma}.

    ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Ε, Ζ είναι συνευθειακά.

  27.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσματα θέσης \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} των σημείων Α, Β, Γ ως προς σημείο Ο αντίστοιχα.i) Να βρείτε συναρτήσει των \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{\gamma} το διάνυσμα θέσης:a)του σημείου Ε, για το οποίο ισχύει 3\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{A\Gamma},
    b) του σημείου Δ, που είναι μέσο της διαμέσου ΑΜ.

    ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β, Δ, Ε είναι συνευθειακά.

  28.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το μέσο Ζ της διαμέσου του ΑΜ. Αν \overrightarrow{AB} = \vec{\alpha}, \overrightarrow{A\Gamma} = \vec{\beta} και για τα σημεία Δ, Ε ισχύει \overrightarrow{A\Delta} = 3\overrightarrow{\Delta B}, ~\overrightarrow{AE} = \dfrac{3}{5}\overrightarrow{E\Gamma},i) να εκφράσετε συναρτήσει των \vec{\alpha}, \vec{\beta} τα διανύσματα \overrightarrow{\Delta E} και \overrightarrow{\Delta Z},ii) να αποδείξετε ότι τα σημεία Δ, Ζ, Ε είναι συνευθειακά.
  29.  Αν για τα σημεία Ο, Α, Β, Γ ισχύει ότι 3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = 5\overrightarrow{O\Gamma}, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  30.  Αν για τα σημεία Μ, Α, Β, Γ ισχύει 3\overrightarrow{MA} + 4\overrightarrow{MB} - 7\overrightarrow{M\Gamma} = \vec{0},i) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
    ii) να βρείτε τη σχετική θέση των Α, Β, Γ.
  31.  Αν ισχύει 2\overrightarrow{A\Lambda} + 3\overrightarrow{B\Lambda} + 2\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AK} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BK}, να αποδείξετε ότι \overrightarrow{K\Lambda} \uparrow \downarrow \overrightarrow{M\Lambda}.
  32.  Αν ισχύει (\kappa + 2)\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} = (\kappa + 5) \overrightarrow{M\Gamma}, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  33.  Αν τα σημεία Α, Γ δεν συμπίπτουν και ισχύει \overrightarrow{O\Gamma} = (1 - \lambda)\overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}, να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.
  34.  Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και τα μέσα Κ, Λ των ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι \overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{B\Delta} = 2\overrightarrow{K\Lambda}.
  35.  Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Κ, Λ τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΓΔ αντίστοιχα. Αν το σημείο Ο είναι μέσον του ΚΛ, να αποδείξετε ότι \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{M\Gamma} + \overrightarrow{M\Delta} = 4\overrightarrow{MO}.
  36.  Έστω τα σημεία Α, Β. Να βρείτε σημείο Ο, ώστε να ισχύει \overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{BO} = \vec{0}.
  37.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει \overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{BM} = \overrightarrow{\Gamma M}.
  38.  Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε να ισχύει \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{P\Gamma} + \overrightarrow{P\Delta} = \vec{0}.
  39.  Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Να βρείτε σημείο Μ τέτοιο, ώστε να ισχύει \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{M\Gamma} = \overrightarrow{M\Delta}.
  40.  Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα \vec{\delta} = 2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{M\Gamma} - 2\overrightarrow{M\Delta} είναι σταθερό.
  41.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν ισχύει \kappa + \lambda + \mu = 0, να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ, το διάνυσμα \vec{\upsilon} = \kappa\overrightarrow{MA} + \lambda\overrightarrow{MB} + \mu\overrightarrow{M\Gamma} είναι σταθερό.
  42.  Αν |\vec{\alpha}| = 6 και τα διανύσματα \vec{\beta}, \vec{\gamma} είναι μοναδιαία, να αποδείξετε ότι \vec{\alpha} + 2\vec{\beta} - 3\vec{\gamma} \neq \vec{0}.
  43.  Αν τα σημεία Γ, Δ είναι διαφορετικά και ισχύουν \overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{\Gamma\Delta}, ~\overrightarrow{A\Gamma} + \overrightarrow{\Delta B} = x\overrightarrow{\Gamma\Delta}, να βρείτε το x.
  44.  Αν τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι διαφορετικά ανά δύο και ισχύει \overrightarrow{A\Delta} = \overrightarrow{B\Gamma}, να βρείτε την τιμή του x, ώστε να ισχύει \overrightarrow{A\Gamma} + x\overrightarrow{B\Delta} = (x -1) \overrightarrow{\Gamma\Delta}.
  45.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν \overrightarrow{BM} = 2\overrightarrow{M\Gamma},i) να αποδείξετε ότι \overrightarrow{AM} = \dfrac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{A\Gamma}}{3},ii) να βρείτε τα \kappa, \lambda, ώστε να ισχύει \kappa\overrightarrow{AB} + \lambda\overrightarrow{A\Gamma} = 3\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{B\Gamma}.
  46.  Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με \overrightarrow{\Delta\Gamma} = 2\overrightarrow{AB}. Να βρείτε τα \kappa, \lambda, ώστε να ισχύει \kappa\overrightarrow{A\Gamma} + \lambda\overrightarrow{B\Delta} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{A\Delta}.
  47.  Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ τέτοιο ώστε \overrightarrow{AB} = \vec{\alpha}, ~\overrightarrow{A\Gamma} = \vec{\beta} και \overrightarrow{\Delta\Gamma} = 2\vec{\alpha}. Έστω Μ το σημείο τομής των διαγωνίων του.i) Να γράψετε τα διανύσματα \overrightarrow{A\Delta}, \overrightarrow{B\Delta} ως γραμμικό συνδυασμό των \vec{\alpha}, \vec{\beta}.ii) Αν \overrightarrow{AM} = \lambda\overrightarrow{A\Gamma} και \overrightarrow{BM} = \mu\overrightarrow{B\Delta}, να βρείτε τα \lambda, \mu.
  48. Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{M\Gamma} - \overrightarrow{M\Delta}|.
  49.  Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει |\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{M\Gamma} + \overrightarrow{M\Delta}|.
  50.  Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει \lambda\overrightarrow{M\Gamma} - \overrightarrow{AB} = (\lambda - 1)\overrightarrow{MB}, \lambda \in \mathbb{R}.
  51.  Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Δ μέσο του ΑΒ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ, για τα οποία ισχύει \overrightarrow{MA} + 2\lambda\overrightarrow{\Gamma B} = \overrightarrow{\Delta M} + 2\lambda\overrightarrow{AB}, \lambda \in \mathbb{R}.

Βιβλιογραφία:
Μπάρλας εκδόσεις Ελληνοεκδοτική. .

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *