ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 10 έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{\zeta} = 3. Έχουμε:

    \[(\epsilon )\parallel (\zeta) \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon} = \lambda_{\zeta} \Leftrightarrow \lambda_{\zeta} = 3\]

Έπίσης η ευθεία (\epsilon) διέρχεται από το σημείο A(2,-1) άρα η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \[A(2,-1)\in (\epsilon ):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{\epsilon}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} - (-1) = 3(x - 2) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} + 1 = 3\mathrm{x} - 6 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 3\mathrm{x} - 7\]

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

β) ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η ευθεία

    \[(\eta): \mathrm{y} = \dfrac{\mathrm{x} + 3}{2} \Leftrightarrow \mathrm{y} = \dfrac{1}{2}\mathrm{x} + \dfrac{3}{2}\]

έχει συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{\eta} = \frac{1}{2}.
Έχουμε:

    \[\epsilon \perp \eta \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon}\cdot \lambda_{\eta} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{\epsilon} \cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\frac{\lambda_{\epsilon} }{2} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{\epsilon} = -2.\]

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Έπίσης η ευθεία (\epsilon) διέρχεται από το σημείο B(3,-5) άρα η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \[B(3,-5)\in (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{B} = \lambda_{\epsilon} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{B}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon): \mathrm{y} - (-5) = -2 (\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} + 5 = -2\mathrm{x} + 6 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 1.\]

γ) ΕΥΘΕΙΑ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΓΝΩΣΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x'x.

Από υπόθεση η ευθεία (\epsilon) σχηματίζει γωνία 135^{^{\circ}}, οπότε θα ισχύει ότι:

    \[\lambda_{\epsilon} = \epsilon \phi 135^{\circ} = -1\]

Έπίσης η ευθεία (\epsilon) διέρχεται από το σημείο \Gamma(-2,3) άρα η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \[\Gamma(-2,3)\in (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{\Gamma} = \lambda_{\epsilon} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{\Gamma}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} -3 = -1 \cdot (\mathrm{x} - (-2)) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} -3 = -1 \cdot (\mathrm{x} +2) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon): \mathrm{y} - 3 = -\mathrm{x} - 2 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = -\mathrm{x} + 1.\]


δ) ΕΥΘΕΙΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Το διάνυσμα \vec{α} = (2,8) έχει συντελεστή διεύθυνσης

    \[\lambda_{\vec{α}} = \dfrac{y}{x}=\dfrac{8}{2} = 4.\]

Έχουμε:

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

    \[\epsilon \parallel \vec{α} \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon} = \lambda_{\vec{α}} \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon} = 4.\]

Έπίσης η ευθεία (\epsilon) διέρχεται από το σημείο \Delta(3,7) άρα η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση:

    \[\Delta(3,7)\in (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{\Delta} = \lambda_{\epsilon} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{\Delta}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} - 7 = 4(\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon): \mathrm{y} - 7 = 4\mathrm{x} - 12 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 4\mathrm{x} - 5.\]

ε) ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ x'x.

Το διάνυσμα \vec{\beta} = (3, 0) είναι παράλληλο στον άξονα x'x, αφού y=0.
Άρα η ευθεία \epsilon που είναι κάθετη στο διάνυσμα \vec{\beta}, θα είναι κάθετη στον άξονα x'x. Επιπλέον η ευθεία \epsilon διέρχεται από το σημείο Ε(4, 5), άρα η εξίσωσή της είναι:

    \[\mathrm{x} = 4.\]

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *