ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Print Friendly, PDF & Email
ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Η μεσοκάθετη ευθεία (\epsilon) διέρχεται από το μέσο Κ(x_{_K}\, , \, y_{_{K}}) του τμήματος που ορίζουν τα σημεία {Α(1,3)} και B(5,1) είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ.

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ

Από τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου έχουμε:

    \[\mathrm{x}_{K} = \frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{B}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3\]

και

    \[\mathrm{y}_{K} = \frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{B}}{2} = \frac{3+1}{2} = 2.\]

Άρα είναι Κ(3, 2).

ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΕΙΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

Η ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ (ε) ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΜΕΣΟ Κ ΚΑΙ ΤΕΜΝΕΙ ΤΟ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ ΑΒ ΚΑΘΕΤΑ

 

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΟΡΙΣΖΟΥΝ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΑ

Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που ορίζουν τα σημεία {Α(1,3)} και B(5,1) δίνεται απο τον παρακάτω τύπο:

    \[\lambda_{AB} = \dfrac{\mathrm{y}_{B} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{B} - \mathrm{x}_{A}} = \dfrac{1 - 3}{5 - 1} = \dfrac{-2}{4} = -\dfrac{1}{2}\]

ΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ

Η μεσοκάθετος ευθεία (\epsilon) τέμνει το ευθύγραμμο τμήμα AB κάθετα.
Συνεπώς είναι:
\epsilon \perp AB \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon} \lambda_{AB} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{\epsilon} \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \Leftrightarrow = \lambda_{\epsilon} = 2
Επομένως η εξίσωση της ευθείας (\epsilon) είναι:

    \[Κ(3, 2)\in (\epsilon):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{K} = \lambda_{\epsilon} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{K}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} - 2 = 2 (\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} - 2 = 2 \cdot \mathrm{x} - 6 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 2 \cdot \mathrm{x} - 6+2 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 4.\]

Β. ΤΡΟΠΟΣ

Η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος AB με άκρα τα σημεία {Α(1,3)} και B(5,1) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}) του επιπέδου xOy που ισαπέχουν απο τα σημεία A,B.
Ή αλλιώς το σημείο Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}) ανήκει στη μεσοκάθετη \epsilon του τμήματος ΑΒ, αν και μόνο αν:

    \[ΜΑ = ΜΒ \Leftrightarrow\]

    \[\sqrt{(\mathrm{x} - 1)^{2} + (\mathrm{y} - 3)^{2}} = \sqrt{(\mathrm{x} - 5)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2}} \Leftrightarrow\]

    \[\sqrt{(\mathrm{x} - 1)^{2} + (\mathrm{y} - 3)^{2}}^{^2} = \sqrt{(\mathrm{x} - 5)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2}}^{^2} \Leftrightarrow\]

    \[(\mathrm{x} - 1)^{2} + (\mathrm{y} - 3)^{2} = (\mathrm{x} - 5)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 2\mathrm{x} + 1 + \mathrm{y}^{2} - 6\mathrm{y}+ 9 = \mathrm{x}^{2} - 10\mathrm{x} + 25 + \mathrm{y}^{2} - 2\mathrm{y} + 1 \Leftrightarrow\]

    \[- 2\mathrm{x} + 1 - 6\mathrm{y}+ 9 = - 10\mathrm{x} + 25 - 2\mathrm{y} + 1 \Leftrightarrow\]

    \[- 2\mathrm{x} + 10 - 6\mathrm{y} = - 10\mathrm{x} + 26 - 2\mathrm{y} \Leftrightarrow\]

    \[- 6\mathrm{y}+ 2\mathrm{y} = + 2\mathrm{x} - 10 - 10\mathrm{x} + 26 \Leftrightarrow\]

    \[-4\mathrm{y} = -8\mathrm{x} + 16 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{y} = \dfrac{-8\mathrm{x}}{-4} + \dfrac{16}{-4} \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 4.\]

Άρα η ευθεία (\epsilon):\mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 4 είναι η εξίσωση της μεσοκάθετης του τμήματος ΑΒ.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *