ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Α. ΤΡΟΠΟΣ
  • Έστω \Gamma (x_{_{\Gamma}}\, ,\, y_{_{\Gamma}}) το συμμέτρικο του Α(3,1) ως προς την ευθεία (\epsilon) τότε το A\Gamma είναι κάθετο στην (\epsilon).
ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Γ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε) ΤΟΤΕ ΤΟ ΑΓ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε)

Ισχύει ότι:

    \[A\Gamma \perp (\epsilon) \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{_{Α\Gamma}} \cdot\lambda_{_\epsilon} = -1\Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{A\Gamma} \cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{A\Gamma} = -2 \Leftrightarrow\]

    \[\dfrac{\mathrm{y}_{\Gamma} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{\Gamma} - \mathrm{x}_{A}} = -2 \Leftrightarrow\]

    \[\dfrac{\mathrm{y}_{\Gamma} - 1}{\mathrm{x}_{\Gamma} - 3} = -2 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{y}_{\Gamma} - 1 = -2\cdot(\mathrm{x}_{\Gamma} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{y}_{\Gamma} - 1 = -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 6 \Leftrightarrow\]

    \[2\mathrm{x}_{\Gamma} + \mathrm{y}_{\Gamma} = 7 \qquad (1)\]

  • Επίσης, για να είναι το σημείο \Gamma (x_{_{\Gamma}}\, ,\, y_{_{\Gamma}}) το συμμέτρικο του Α(1,3) ως προς την ευθεία (\epsilon), θα πρέπει το σημείο τομής B(x_{_B}\, , \, y_{_{B}}), του ευθύγραμμου τμήματος A\Gamma με την (\epsilon), να είναι μέσο του A\Gamma.

Το μέσο B(x_{_B},y_{_B}) του ευθύγραμμου τμήματος A\Gamma από τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου γράφεται:

    \[B\left(\frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},\frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\right),\]

επειδή το σημείο A(1,3) τότε:

    \[B\left(\frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\right)\]

επιπλέον το σημειο B ανήκει στην ευθεία

    \[\epsilon: \mathrm{y} - \frac{1}{2} \mathrm{x} - 3,\]

οπότε οι συντεταγμένες του B επαληθεύουν την εξίσωση της (\epsilon) δηλαδή:

    \[\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} - 3 \Leftrightarrow\]

    \[\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{4} - 3 \Leftrightarrow\]

    \[4\cdot \frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = 4\cdot \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{4} - 4\cdot 3 \Leftrightarrow\]

    \[2\cdot ({1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}) = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} - 12 \Leftrightarrow\]

    \[2 + 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} - 12 \Leftrightarrow\]

    \[\Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} - 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 11 \qquad (2)\]

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2):

    \[\left\{\begin{array}{l}{ (1):\quad 2\mathrm{x}_{\Gamma} + \mathrm{y}_{\Gamma}=7} \\ {(2): \quad \mathrm{x}_{\Gamma} - 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 11}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}_{\Gamma} = 5}\\{\mathrm{y}_{\Gamma} = -3}\end{array}\right.\]

Άρα το συμμετρικό του σημείου Α(1,3) ως προς την ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - 3} είναι το σημείο

    \[\Gamma(5, -3).\]

 

Β. ΤΡΟΠΟΣ

(ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΠΡΩΤΑ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ)

Αν \Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma}) είναι το συμμετρικό του Α(3,1) ως προς την ευθεία (\epsilon), τότε το σημείο Β(4,1), η προβολή του A στην (\epsilon), είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Α\Gamma

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Γ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε) ΟΤΑΝ ΤΟ Β ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΕΣΟ ΤΟΥ ΑΓ

Από τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου ισχύουν τα εξής:

    \[\mathrm{x}_{B} = \frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow 4 = \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow 8 = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} = 5\]

    \[\mathrm{y}_{B} = \frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow -1 = \frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow -2 = 1 + \mathrm{y}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{y}_{\Gamma} = -3\]

Άρα το συμμετρικό του σημείου Α(1,3) ως προς την ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - 3} είναι το σημείο

    \[\Gamma(5, -3).\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *