ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η προβολή του σημείου Α(3, 1) πάνω σην ευθεία (\epsilon) είναι το σημείο τομής B, της ευθείας (\epsilon) με τη ευθεία (\zeta), όπου (\zeta) η ευθεία που διέρχεται απο το A(3,1) και τέμνει την (\epsilon) κάθετα.

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Β ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε)
ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Θα βρούμε αρχικά την εξίσωση της ευθείας (\zeta) που διέρχεται από το σημείο Α(3, 1) και είναι κάθετη στην (\epsilon).

Έχουμε:

    \[(\epsilon )\perp (\zeta) \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{\epsilon} \cdot\lambda_{\zeta} = -1.\]

Αλλά (\epsilon): y =\dfrac{1}{2}\cdot x - 3\Leftarrow \lambda_{_{\epsilon}} =\dfrac {1}{2} οπότε έχουμε:

    \[\dfrac{1}{2}\cdot \lambda_{\zeta} = - 1 \Leftrightarrow\]

    \[\dfrac{\lambda_{\zeta}}{2} = - 1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{\zeta} = -2\]

Επίσης το σημείο Α(3, 1) ανήκει στην ευθεία (\zeta) έχουμε:

    \[Α(3, 1)\in (\zeta): \mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{\zeta}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A})\]

Άρα η εξίσωση της ευθείας (\zeta) είναι:

    \[(\zeta): \mathrm{y} - 1 = -2(\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta):\mathrm{y} - 1 = -2\mathrm{x} + 6 \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 6 + 1 \Leftrightarrow\]

    \[(\zeta):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} +7.\]

ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Η προβολή Β(x_{B},y_{B}) του σημείου Α στην ευθεία (\epsilon) είναι το σημείο τομής των ευθειών (\epsilon) και (\zeta) και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστηματος.

    \[\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon):\mathrm{y}=\dfrac{1}{2} \mathrm{x}-3} \\\\\ (\zeta):{\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot\mathrm{y}=2\cdot\dfrac{1}{2} \mathrm{x}-2\cdot3} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot\mathrm{y}= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot(-2\mathrm{x}+7)= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ -4\mathrm{x}+14= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ -4\mathrm{x}-\mathrm{x}= -6-14} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ -5\mathrm{x}= -20} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= \dfrac{-20}{-5}} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-2\cdot 4+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-8+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-1}\end{array}\right\}.\]

Άρα η προβολή του σημείου A στην ευθεία \epsilon είνα το σημείο

    \[Β(4, -1).\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *