ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Αν γνωρίζουμε ότι το σημείο Μ(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) ανήκει στην ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta, τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή ισχύει ότι:

    \[\mathrm{y}_{1} = \lambda \mathrm{x}_{1} + \beta.\]

Άρα το σημείο Μ είναι της μορφής:

    \[M\big(\mathrm{x}_{1}\, , \,\lambda \mathrm{x}_{1} + \beta\big).\]


Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

i.) Για να ανήκει το σημείο A(2,5) στην ευθεία (\epsilon): y =2x+1 θα πρεπει οι συντεταγμένες του A να ικανοποιούν την εξίσωση της (\epsilon), έχουμε:

    \begin{align*} A(2,5)\in (\epsilon):& y =2x+1 \xRightarrow[y=5]{x=2}\\\\ & 5 =2\cdot 2+1 \Rightarrow \\\\ & 5 =4+1\Rightarrow \\\\ & 5 =5 \quad \text{ισχύει} \end{align*}

Άρα το σημείο A(2,5) ανήκει στην ευθεία (\epsilon): y =2x+1.

ii.)
Για να ανήκει το σημείο Β(4,3) στην ευθεία (\epsilon): y =2x+1 θα πρεπει οι συντεταγμένες του Β να ικανοποιούν την εξίσωση της (\epsilon), έχουμε:

    \begin{align*} Β(4,3)\in (\epsilon):& y =2x+1 \xRightarrow[y=3]{x=4}\\\\ & 3 =2\cdot 4+1 \Rightarrow \\\\ & 3 =8+1\Rightarrow \\\\ & 3 =9 \quad \text{αδύνατο} \end{align*}

Άρα τοΒ(4,3) δεν ανήκει στην ευθεία (\epsilon): y =2x+1.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

α) Το σημείο Μ\big(2\lambda + 4\,,\, \lambda + 2\big) ανήκει στην ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 5\lambda, άρα για x=2\lambda + 4 και y =\lambda + 2 η εξίσωση της (\epsilon) γίνεται:

    \[(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 5\lambda \Rightarrow\]

    \[\lambda + 2 =3(2\lambda +4) + 5\lambda \Rightarrow\]

    \[\lambda +2 = 6\lambda +12 + 5\lambda \Rightarrow\]

    \[\lambda +2 = 11\lambda +12 \Rightarrow\]

    \[\lambda -11\lambda=-2 +12 \Rightarrow\]

    \[-10\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = -1.\]

ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

β)
Το σημείο Α\big(x_{1}\, , \, y_{1}\big) ανήκει στην ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = -\mathrm{x} + 3,
οπότε οι συντεταγμένες του A επαληθεύουν την εξίσωση της(\zeta) δηλαδή y_{1}= -x_{1}+3
Άρα το σημείο Α\big(x_{1}\, , \, y_{1}\big) είναι της μορφής: Α(\mathrm{x}_{1}, -\mathrm{x}_{1} + 3).

Το σημείο Β\big(x_{2}\, , \, y_{2}\big) ανήκει στην ευθεία (\theta): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 6,
οπότε οι συντεταγμένες του B επαληθεύουν την εξίσωση της(\theta) δηλαδή y_{2}= 2\cdot x_{2}-6
Άρα το σημείο Β\big(x_{2}\, , \, y_{2}\big) είναι της μορφής: Β(\mathrm{x}_{2}, 2\mathrm{x}_{2} - 6).

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ

Επίσης για \lambda = -1 το σημείο Μ\big(2\lambda + 4\,,\, \lambda + 2\big) είναι Μ(2,1).
Από υπόθεση σημείο Μ(2,1) είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, οπότε έχουμε:

    \begin{align*} &\left\{\begin{aligned} \mathrm{x}_{\mathrm{M}} &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}}{2} \\\\ \mathrm{y}_{\mathrm{M}} &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}}{2} \end{aligned}\right\} \xRightarrow[y_M=1]{x_M=2}\\\\ &\left\{\begin{aligned} 2 &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}}{2} \\\\ 1 &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}}{2} \end{aligned}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{aligned} 2 &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}}+\mathrm{x}_{\mathrm{2}}}{2} \\\\ 1 &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}}+\mathrm{y}_{\mathrm{2}}}{2} \end{aligned}\right\} \xRightarrow[y_2=2 \mathrm{x}_{2}-6]{y_1=-\mathrm{x}_{1}+3}\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{2=\dfrac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}} \\\\ {1=\dfrac{(-\mathrm{x}_{1}+3)+(2 \mathrm{x}_{2}-6)}{2}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}2=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \\\\ 1=\dfrac{-x_{1}+3+2 x_{2}-6}{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}2=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \\\\ 1=\dfrac{-x_{1}+2 x_{2}-3}{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}2\cdot 2=x_{1}+x_{2} \\\\ 1\cdot 2=-x_{1}+2 x_{2}-3\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}4=x_{1}+x_{2} \\\\ 2=-x_{1}+2 x_{2}-3\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}4=x_{1}+x_{2} \\\\ 2+3=-x_{1}+2 x_{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}=4 \\-x_{1}+2 x_{2}=5 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=4-x_{2} \\-x_{1}+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-(4-x_{2})+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-4+x_{2}+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-4+3 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\3 x_{2}=5+4} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\3 x_{2}=9} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\\\ x_{2}=\dfrac{9}{3}} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\\\ x_{2}=3} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-3 \\\\ x_{2}=3} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=1} \\ {x_{2}=3}\end{array}\right \} \end{align*}

Επομένως για x_{1}=1 το σημείο Α\big(\mathrm{x}_{1}\, , \,-\mathrm{x}_{1} + 3\big) είναι:

    \[Α\big(\mathrm{x}_{1}\, , \, -\mathrm{x}_{1} + 3\big)\]

    \[Α(1\, , \, -1 + 3)\]

    \[Α(1 , 2)\]

και για x_{2}=3 το σημείο Β(\mathrm{x}_{2}\, , \, 2\mathrm{x}_{2} - 6) είναι:

    \[Β\big(\mathrm{x}_{2}\, , \, 2\mathrm{x}_{2} - 6\big)\]

    \[Β(3\, , \,2\cdot 3 - 6)\]

    \[Β(3\, , \, 6- 6)\]

    \[Β(3\, , \, 0)\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *