ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Print Friendly, PDF & Email
Ευθεία με γνωστό συντελεστή διεύθυνσης που ικανοποιεί μια ιδιότητα.
Όταν η ευθεία (\epsilon) έχει γνωστό συντελεστή διεύθυνσης \lambda και ικανοποιεί μια ιδιότητα Ι,(π.χ ευθεια που σχηματιζει τριγωνο με τους αξονες) τότε για να βρούμε την εξίσωσή της, γράφουμε την ευθεία (\epsilon) στη μορφή:

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta.\]

‘Ωστε ο μοναδικός άγνωστος να είναι ο \beta, τον οποίο θα υπολογίσουμε θεωρώντας ότι η (\epsilon) ικανοποιεί την ιδιότητα Ι.

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

 

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Για την ευθεία (\epsilon) ισχύει ότι:

    \[(\epsilon) \perp (\zeta)\]

    \[\lambda_{\epsilon}\cdot \lambda_{\zeta} = -1\]

αλλά (\zeta): \mathrm{y} = -\dfrac{1}{3}\mathrm{x} + 2017\Rightarrow \lambda_{_{\zeta }}=-\dfrac{1}{3}

οπότε:

    \[\lambda_{_{\epsilon}}\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 \Leftrightarrow-\frac{\lambda_{_{\epsilon}}}{3} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{_{\epsilon}}= 3.\]

Επομένως η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση της μορφής:

    \[(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + \beta.\]

Βρίσκουμε τα σημεία τομής της (\epsilon) με τους άξονες.

H ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + \beta τέμνει τον άξονα y'y για \mathrm{x} = 0, δηλαδή έχουμε:

    \[(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + \beta\]

    \[\mathrm{y} = 3\cdot 0 + \beta\]

    \[\mathrm{y} = 0 + \beta\]

    \[\mathrm{y} = \beta.\]

Άρα το σημείο τομής της (\epsilon) με τον άξονα y'y είναι το

    \[Α(0,\beta).\]

H ευθεία (\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + \beta τέμνει τον άξονα x'x για \mathrm{y} = 0 δηλαδή έχουμε:

    \[(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + \beta\]

    \[0 = 3 \mathrm{x} + \beta\]

    \[-3\mathrm{x} = \beta\]

    \[\mathrm{x} = -\frac{\beta}{3}.\]

Άρα το σημείο τομής της (\epsilon) με τον άξονα x'x είναι το σημείο

    \[Β(-\frac{\beta}{3},0).\]

Χωρίς να γνωρίζουμε το πρόσημο του \beta το τρίγωνο που σχηματίζεται δίνεται, πιθανών, από το παρακάτω σχήμα:

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΣΧΗΜΑΤΙΖΕΙ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕ ΤΟΥΣ ΑΞΟΝΕΣ

Έχουμε ότι το τρίγωνο AOB είναι ορθογώνιο στο O και από τον τύπο του ενβαδού τριγώνου έχουμε:

    \[E_{_{\text{τριγ.}}}= \dfrac{\text{β}\cdot{\text{υ}}}{2}\]

    \[E_{_{AOB}}=\dfrac{\big(OA\big)\cdot \big(OB\big)}{2}\]

    \[\Big(AOB\Big)=\dfrac{\big|\beta\big|\cdot \Big| -\dfrac{\beta}{3} \Big|}{2}\]

    \[\Big(AOB\Big)=\dfrac{\big|\beta\big|\cdot \Big| \dfrac{\beta}{3} \Big|}{2}\]

    \[\Big(AOB\Big)=\dfrac{\frac{\big|\beta^{2}\big|}{3}} {2}\]

Από υπόθεση ισχύει ότι \big(OAB\big) = 6 οπότε

    \[6=\dfrac{\big|\beta^{2}\big|}{6}\]

    \[36=|\beta^{2}\big|\]

    \[\beta^{2}=36\]

    \[\beta =\pm 6\]

Συνεπώς, οι ευθείες οι οποίες είναι κάθετες στην (\zeta): y=-\dfrac{1}{3}\cdot x +2017 και σχηματίζουν με τους άξονες τρίγωνο, εμβαδούν 6 τετραγωνικών μονάδων είναι:

Για \beta = 6 η ευθεία

    \[\big(\epsilon_{1}\big): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 6\]

και για \beta = -6 η ευθεία

    \[\big(\epsilon_{2}\big): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} - 6.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *