ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

Print Friendly, PDF & Email

Ευθεία που διέρχεται από γνωστό σημείο και ικανοποιεί μια ιδιότητα

Όταν μια ευθεία (\epsilon) διέρχεται από γνωστό σημείο Α(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) και επιπλέον έχει μια ιδιότητα Ι, τότε για να βρούμε την εξίσωσή της, εργαζόμαστε ώς εξής:

  • Η ευθεία (\epsilon) έχει εξίσωση της μορφής:

        \[\mathrm{x} = \mathrm{x}_0 \quad \text{ή}\quad \mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}).\]

  • Εξετάζουμε αν η ευθεία με εξίσωση \mathrm{x} = \mathrm{x}_0 έχει την ιδιότητα Ι. Αν την έχει, τότε η \mathrm{x} = \mathrm{x}_0 είναι μια από τις ζητούμενες ευθείες.

Θεωρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση \mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}) έχει την ιδιότητα Ι και βρίσκουμε (αν υπάρχουν) τις τιμές του \lambda και τις αντίστοιχες ευθείες.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

 

  • Ξέρουμε ότι από ένα σημείο M\big(x_{0}, y_{0}\big) διέρχονται άπειρες ευθείες οι οποίες χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες σε αυτές που έχουν συντελεστή διεύθυνσης \lambda \in \rr και έχουν εξίσωση της μορφής:

        \[(\epsilon): y-y_{o}=\lambda (x-x_{0}).\]

  • Όπως επίσης απο το σημείο M\big(x_{0}, y_{0}\big) διέρχεται και η ευθεία παράλληλη στον y'y, η κατακόρυφη ευθεία η οποία ΔΕΝ έχει συντελεστή διεύθυνσης με εξίσωση:

        \[(\epsilon): x=x_{0}.\]

    Συνεπώς οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο P(3,5), θα έχουν εξίσωση:

        \[(\epsilon):\mathrm{x} = 3 \quad \text{ ή } \quad (\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3).\]

ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΕΡ.1. Αν (\epsilon):\mathrm{x} = 3
Τότε η ευθεία (\epsilon):\mathrm{x} = 3 τέμνει την ευθεία: (\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2 στο σημείο Α(3,1).
Αφού για x=3 η εξίσωση της ευθείας (\zeta) δίνει: \mathrm{y} = 3 - 2\Rightarrow \mathrm{y} =1
Από υπόθεση θα πρέπει το σημείο τομής Α(3,1), να απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση (OA)=\sqrt{10}
Είναι:

    \[(OA)=\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}\]

    \[(ΟΑ) = \sqrt{(3-0)^2+(1-0)^{2}}=\]

    \[(ΟΑ) = \sqrt{3^2+1}\]

    \[(ΟΑ) =\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.\]

Άρα η ευθεία \mathrm{x} = 3 είναι μια λύση του προβλήματος.

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΕΡ.2Θα εξετάσουμε τώρα αν υπάρχει ευθεία της μορφής (\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3) που διέρχεται από το σημείο P(3,5) και τέμνει την ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2 σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων O(0,0) απόσταση ίση με \sqrt{10}
Είναι:

    \[(\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5\]

Για να είναι οι ευθείες (\epsilon) και (\zeta) τεμνόμενες θα πρέπει \lambda \neq 1, ώστε οι ευθείες (\epsilon) και (\zeta) να μην είναι παράλληλες.
Οπότε το σημείο τομής Α(x_{A}, y_{A}) των ευθειών (\epsilon) και (\zeta) έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών:

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{(\zeta):y=x-2} \\\\ {(\epsilon):y=\lambda x-3 \lambda+5}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {\lambda x-3 \lambda+5=x-2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {(\lambda-1) x=3 \lambda-7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}-2} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}-\dfrac{2\cdot(\lambda -1)}{\lambda -1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7-2\lambda +2}{\lambda-1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{\lambda-5}{\lambda-1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right \} \end{align*}

Επομένως οι ευθείες (\epsilon) και (\zeta) έχουν σημείο τομής της μορφής

    \[Α\left(\dfrac{3\lambda - 7}{\lambda - 1},\dfrac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right).\quad \text{με} \quad \lambda \neq 1\]

Από υπόθεση θα πρέπει το σημείο τομής Α\left(\dfrac{3\lambda - 7}{\lambda - 1},\dfrac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right), \quad \lambda \neq 1 να απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση (OA)=\sqrt{10}
Είναι:

    \begin{align*} &\begin{cases}(OA)=\sqrt{10} \\\\ \text{και}\\ (OA)=\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}} \end{cases}\Rightarrow\\\\ &\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}}=\sqrt{10}\\\\ &\sqrt{\left(\frac{3\lambda - 7}{\lambda - 1} - 0\right)^{2} + \left(\frac{\lambda - 5}{\lambda - 1}-0\right)^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{\left(\frac{3\lambda - 7}{\lambda - 1}\right)^{2} + \left(\frac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right)^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \\\\ &\frac{9\lambda^2 - 42\lambda + 49}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} + \frac{\lambda^2 - 10\lambda + 25}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ &\frac{9\lambda^2 - 42\lambda + 49+\lambda^2 - 10\lambda + 25}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ &\frac{10\lambda^2 - 52\lambda +74}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda +74 = 10\cdot (\lambda^2 - 2\lambda + 1)\Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda +74 = 10\lambda^2 -20\lambda + 10 \Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda - 10\lambda^2 +20\lambda= + 10-74 \Leftrightarrow \\\\ &-32\lambda = -64 \Leftrightarrow \lambda = 2 \end{align*}

Δηλαδή για \lambda =2 η ευθεία με εξίσωση (\epsilon):\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5
διέρχεται από το σημείο P(3,5) και τέμνει την ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2 σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων O(0,0) απόσταση ίση με \sqrt{10}
Επομένως είναι:

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 2\cdot \mathrm{x} - 3\cdot 2 + 5\]

    \[(\epsilon):\mathrm{y} = 2\cdot \mathrm{x} - 6 + 5\]

    \[(\epsilon): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 1\]

Τελικά οι ευθείες που διέρχενται από το σημείο P(3,5) και τέμνουν την ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2 σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων O(0,0) απόσταση ίση με \sqrt{10} είναι:

    \[(\epsilon_1): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 1\quad \text{και} \quad (\epsilon_2):\mathrm{x} = 3.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *