ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

ΚΟΡΥΦΗ Α ΩΣ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΤΩΝ ΑΓ ΚΑΙ ΑΒ

α)

Το σημείο τομής Α\Big(x_{A}\, , \, y_{A}\Big) των ευθειών, (\epsilon_{_{Α\Gamma}}):y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{8}{3} και (\epsilon_{_{Α\Delta}}):y=-2x -4, έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών.
Λύνουμε το σύστημα:

    \begin{align*} & \left\{\begin{array}{c}{\mathrm{y} = -\dfrac{1}{3} \mathrm{x} + \dfrac{8}{3}} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{-2\mathrm{x} - 4 = -\dfrac{1}{3}\mathrm{x} + \dfrac{8}{3}} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{-3\cdot 2\mathrm{x} -3\cdot 4 = -3\cdot\dfrac{1}{3}\mathrm{x} + 3\cdot\dfrac{8}{3}} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{-6\mathrm{x} -12= -\mathrm{x} +8} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{-6\mathrm{x} +\mathrm{x}= 12+8} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{-5\mathrm{x} = 20} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x} = \dfrac{ 20}{-5}} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x} = -4} \\\\ {\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x} = -4} \\\\ {\mathrm{y} = -2\cdot (-4) - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x} = -4} \\\\ {\mathrm{y} = +8 - 4}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}=-4} \\\\ {\mathrm{y}=4}\end{array}\right \} \end{align*}

Επομένως είναι Α(-4,4).

β) Για να βρούμε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά ΑΒ
βρίσκουμε πρώτα την κλίση (συντελεστή διεύθυνσης) της ευθείας που ορίζουν τα σημεία Α(-4,4) και Β(-3,-3)

    \begin{align*} \lambda_{\epsilon_{_{AB}}}&=\lambda_{AB} \\\\ &= \dfrac{\mathrm{y}_{B - }\mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{B} - \mathrm{x}_{A}} \\\\ &= \frac{-3 - 4}{-3 - (-4)} \\\\ &= \frac{-3 - 4}{-3 + 4 } \\\\ &= \frac{-7}{1} = -7. \end{align*}

´Αρα \lambda_{\epsilon_{_{AB}}}= -7.
Επομένως η ευθεία \epsilon_{_{AB}} θα έχει εξίσωση:

    \[Α(-4,4)\in (\epsilon_{_{AB}}): \mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{AB}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{AB}}):\mathrm{y} - 4 = -7 (\mathrm{x} + 4) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{AB}}):\mathrm{y} - 4 = -7 \mathrm{x} -28 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{AB}}):\mathrm{y} = -7 \mathrm{x} -28 + 4\Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{AB}}):\mathrm{y} = -7\mathrm{x} - 24.\]

  • Για να βρούμε την εξίσωση της ευθείας στην οποία ανήκει η πλευρά Β\Gamma βρίσκουμε πρώτα το συντελεστή διεύθυνσης (κλίση) \lambda_{_{Β\Gamma}}.
    Επειδή το A\Delta είναι το ύψος που αντιστοιχεί στην πλευρά Β\Gamma ισχύει ότι:

    \[Β\Gamma \perp A\Delta \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{B\Gamma}\cdot \lambda_{A\Delta} = -1.\]

    \[\text {Από υπόθεση}\quad (\epsilon_{_{Α\Delta}}):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} - 4\Rightarrow \lambda_{A\Delta}=-2\]

    \[\text {οπότε}\quad\lambda_{B\Gamma} \cdot (-2) = -1 \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{B\Gamma} = \frac{-1}{-2}\]

    \[\lambda_{B\Gamma} = \frac{1}{2}.\]

Επομένως η ευθεία (\epsilon_{_{B\Gamma}}) έχει εξίσωση:

    \[Β(-3,-3)\in (\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{B} = \lambda_{B\Gamma}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{B}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} + 3 = \frac{1}{2} (\mathrm{x} + 3) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} + 3 = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{x} + \frac{3}{2} \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{x} + \frac{3}{2}- 3 \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{x} + \frac{3}{2}- \dfrac{6}{2} \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} = \frac{1}{2}\mathrm{x} - \frac{3}{2}\]

γ)

ΚΟΡΥΦΗ Γ ΩΣ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΤΩΝ ΒΓ ΚΑΙ ΑΓ

Το σημείο τομής \Gamma\Big(x_{\Gamma}\, , \, y_{\Gamma}\Big) των ευθειών, (\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} = \dfrac{1}{2}\mathrm{x} - \dfrac{3}{2} και (\epsilon_{_{Α\Gamma}}):\mathrm{y} = -\dfrac{1}{3}\mathrm{x} + \dfrac{8}{3}, έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών.
Λύνουμε το σύστημα:

    \begin{align*} &\left\{\begin{aligned} (\epsilon_{_{B\Gamma}}): \mathrm{y} &=\dfrac{1}{2}\mathrm{x} - \dfrac{3}{2} \\\\ (\epsilon_{_{Α\Gamma}}):\mathrm{y} & = -\dfrac{1}{3} \mathrm{x} + \dfrac{8}{3} \end{aligned}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {\dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{3} \mathrm{x} + \dfrac{8}{3}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {6\cdot\dfrac{1}{2} \mathrm{x} - 6\cdot\dfrac{3}{2} =-6\cdot\dfrac{1}{3} \mathrm{x} + 6\cdot\dfrac{8}{3}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {3\mathrm{x} - 3\cdot 3 =-2 \mathrm{x} + 2\cdot 8 } \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {3\mathrm{x} - 9 =-2 \mathrm{x} + 16 }\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {3\mathrm{x}+2 \mathrm{x} = 9 + 16 }\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {5\mathrm{x} = 25 }\end{array}\right\} \Leftrightarrow \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {\mathrm{x} = \dfrac{25}{5} } \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - \dfrac{3}{2}} \\\\ {\mathrm{x} = 5} \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 - \dfrac{3}{2}} \\\\ {\mathrm{x} = 5} \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{5}{2}- \dfrac{3}{2}} \\\\ {\mathrm{x} = 4} \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = \dfrac{2}{2}} \\\\ {\mathrm{x} = 4} \end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}=5} \\ {\mathrm{y} = 1}\end{array}\right \} \end{align*}

Επομένως είναι \Gamma(5, 1)

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

δ)
Για να βρούμε την ευθεία (\epsilon_{_{BE}}) πανω στην οποία βρισκεται το ύψος BE έχουμε

    \begin{align*} B(-3,-3)\in (\epsilon_{_{BE}}):& y-y_B = \lambda_{{BE}} \cdot (x-x_{B})\\\\ (\epsilon_{_{BE}}):& y-(-3) = \lambda_{{BE}} \cdot \big(x-(-3)\big)\\\\\ (\epsilon_{_{BE}}):& y+3 = \lambda_{{BE}} \cdot (x+3)\\\\\ \end{align*}

ΒΕ ΥΨΟΣ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΠΙ ΤΗΣ ΠΛΕΥΡΑΣ ΑΓ

Για να βρούμε την κλίση \lambda_{{BE}}, (συντελεστή διεύθυνσης)της ευθείας (\epsilon_{_{BE}}), έχουμε ότι το BE είναι το ύψος που αντιτοιχεί στην πλευρά A\Gamma, οπότε

    \begin{align*} ΒΕ \perp& A\Gamma \Leftrightarrow \\\\ \lambda_{BE} \cdot &\lambda_{A\Gamma} = -1 \ \end{align*}

Είναι (\epsilon_{_{Α\Gamma}}): \mathrm{y} = -\frac{1}{3}\mathrm{x} + \frac{8}{3}, άρα ισχύει ότι:

    \[\lambda_{A\Gamma} = -\frac{1}{3}\]

Συνεπώς

    \[\lambda_{BE}\cdot \Big(-\frac{1}{3}\Big) = -1 \Leftrightarrow -\frac{\lambda_{BE}}{3} = -1 \Leftrightarrow \lambda_{BE} = 3\]

Επομένως η ευθεία (\epsilon_{_{BE}}) έχει εξίσωση:

    \[(\epsilon_{_{BE}}): y+3 = \lambda_{{BE}} \cdot (x+3)\]

    \[(\epsilon_{_{BE}}): y+3 = 3 \cdot (x+3)\]

    \[(\epsilon_{_{BE}}): y+3 = 3 x+9\]

    \[(\epsilon_{_{BE}}): y= 3 x+9-3\]

    \[(\epsilon_{_{BE}}): y= 3 x+6.\]

ε) Το ορθόκεντρο Η\big(x_{H},y_{H}\big) του τριγώνου ΑΒ\Gamma είναι το σημείο τομής των υψών Α\Delta και ΒΕ και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών (\epsilon_{_{Α\Delta}}) και (\epsilon_{_{BE}})

    \begin{align*} &\left\{\begin{aligned} (\epsilon_{_{Α\Delta}}):y &=-2 x-4 \\\\ (\epsilon_{_{BE}}):y &=3 x+6 \end{aligned}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 x-4} \\\\ {-2 x-4=3 x+6}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 x-4} \\\\ {-2 x-3 x=4+6}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 x-4} \\\\ {-5 x=10}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 x-4} \\\\ { x=\dfrac{10}{-5}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 x-4} \\\\ { x=-2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=-2 \cdot(-2)-4} \\\\ { x=-2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=+4-4} \\\\ { x=-2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{y=0} \\\\ {x=-2}\end{array}\right \} \end{align*}

Επομένως είναι Η(-2,0).

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *