ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΑΜΕΣΟ ΕΥΘΕΙΑ

Print Friendly, PDF & Email

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη τη διάμεσο ευθεία

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Το σημείο τομής Α(x_{A},y_{A}) των ευθειών (\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13 και (\zeta): \mathrm{y} = -5\mathrm{x} + 22, έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών
Λύνουμε το σύστημα:

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon_{1}):y=-2 x+13} \\ {(\zeta):y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-5 x+22=-2 x+13} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-5 x+2x=-22+13} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{-3 x=-9} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-5 x+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-5 \cdot 3+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=-15+22}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=3} \\ {y=7}\end{array}\right\} \end{align*}

Επομένως είναι Α(3, 7).

Το σημείο \Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma}) ανήκει στην ευθεία (\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13, οπότε οι συντεταγμένες του \Gamma επαληθεύουν την εξίσωση της (\epsilon_{1}) άρα ισχύει ότι:

    \[\Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma} )\in (\epsilon_{1}): \mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 13\]

    \[\mathrm{y}_{\Gamma} = -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13\]

οπότε είναι \Gamma\big(\mathrm{x}_{\Gamma}\, ,\, -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13\big).

Το Μ(x_M , y_{M}) είναι το μέσο του Β\Gamma, άρα ισχύουν οι τύποι για τις συντεταγμένες μέσου:

    \[\mathrm{x}_{M} = \dfrac{\mathrm{x}_{B} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} = \frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2}\]

και

    \begin{align*} \mathrm{y}_{M} &= \frac{\mathrm{y}_{B} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\\\\                & = \frac{3-2\mathrm{x}_{\Gamma} + 13}{2}\\\\\                & = \frac{16 - 2\mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \\\\                &= 8 - \mathrm{x}_{\Gamma}. \end{align*}

δηλαδή είναι

    \[Μ\Big(\frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},8 - \mathrm{x}_{\Gamma}\Big).\]

Το σημείο Μ(x_{M},y_{M}) ανήκει στην ευθεία (\zeta): \mathrm{y} = -5 \mathrm{x} + 22, οπότε οι συντεταγμένες του M επαληθεύουν την εξίσωση της (\zeta) άρα ισχύει ότι:

    \[Μ(x_{M},y_{M})\in (\zeta): \mathrm{y} = -5 \mathrm{x} + 22\]

    \[\mathrm{y}_{M} = -5\mathrm{x}_{M} + 22 \Leftrightarrow\]

    \[8 - \mathrm{x}_{\Gamma} = -5 \cdot \frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} + 22 \Leftrightarrow\]

    \[2\cdot (8 - \mathrm{x}_{\Gamma}) = 2\cdot (-5) \cdot \frac{2 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} +2\cdot 22 \Leftrightarrow\]

    \[16 - 2\mathrm{x}_{\Gamma} = -(-5) \cdot (2 + \mathrm{x}_{\Gamma}) + 44 \Leftrightarrow\]

    \[16 - 2\mathrm{x}_{\Gamma} = -10 - 5\mathrm{x}_{\Gamma} + 44 \Leftrightarrow\]

    \[3\mathrm{x}_{\Gamma} = 18 \Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} = 6\]

για \mathrm{x}_{\Gamma} = 6 και

    \[\mathrm{y}_{M}= 8 - \mathrm{x}_{\Gamma}\Rightarrow  \mathrm{y}_{M} = 8-6 \Rightarrow  \mathrm{y}_{M} =2\]

Άρα είναι \Gamma(6,2).

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *