ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΔΙΧΟΤΟΜΟ ΓΩΝΙΑΣ

Print Friendly, PDF & Email

Γεωμετρικό πρόβλημα με δεδομένη διχοτόμο γωνίας δυο ευθειών.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Ξέρουμε ότι για να βρούμε τον τύπο μιας ευθείας θα πρέπει να γνωρίζουμε ένα σημείο της ευθείας και τον συντελεστή διεύθυνσής της.
Επειδή απο τα δεδομένα του προβλήματος η ζητούμενη ευθεία (\epsilon_2) δεν είναι κάθετη ή παράλληλη με κάποια άλλη ευθεία θα αναζητήσουμε δύο σημεία της που την ορίζουν.

Βρίσκουμε αρχικά το σημείο τομής Α των (\epsilon_{1}) και (\delta) το οποίο είναι και σημείο της (\epsilon_2), λύνοντας σύστημα.

Δηλαδή το σημείο τομής Α(x_{A}, y_{A}), των ευθειών (\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \dfrac{1}{3} \mathrm{x} + \dfrac{1}{3}} και (\delta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 1}, έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος:

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{(\epsilon_{1}):y=\dfrac{1}{3} x+\dfrac{1}{3}} \\ {(\delta):y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{3\cdot (x-1)= x+1 }\\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{3x-3= x+1} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{3x-x= 3+1} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{2x= 4 }\\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x=\dfrac{4}{ 2}} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x=2 }\\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x=2 }\\ {y=2-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{3\cdot y= x+1} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=2} \\ {y=1}\end{array}\right\} \end{align*}

`Αρα είναι Α(2,1) το οποίο είναι σημείο της (\epsilon_{2}) για να βρούμε και ένα δεύτερο σημείο της (\epsilon_{2}) λειτουργούμε ως εξής:

Επιλέγουμε τυχαίο σημείο Β της:

    \[(\epsilon_{1}): \mathrm{y} = \dfrac{1}{3}\mathrm{x} + \frac{1}{3}\]

(διαφορετικό του Α). Για παράδειγμα, για \mathrm{x} = 5 είναι:

    \[\mathrm{y} = \dfrac{1}{3} \cdot 5 + \frac{1}{3} =\]

    \[\frac{5}{3} + \frac{1}{3} =\dfrac{6}{6} =2\]

`Αρα έχουμε το σημείο Β(5,2) της (\epsilon_{1}).

Στη συνέχεια το σημείο Β(5,2) έχει συμμετρικό σημείο ως προς την ευθεία (\delta) το σημείο \Gamma (x_{\Gamma}, y_{\Gamma}) το οποίο ανήκει στην ζητούμενη (\epsilon_{2}), αφού η ευθεία (\delta), είναι διχοτόμος της γωνίας \epsilon_{1}\widehat{A}\epsilon_{2}.

Για να βρούμε το σημείο \Gamma (x_{\Gamma}, y_{\Gamma})\in (\epsilon_{2}) θα πρέπει να βρούμε το σημείο M(x_{M},y_{M})\in (\delta) για το οποίο θα ισχύει M μέσον του B \Gamma

Βρίσκουμε το σημείο M(x_{M},y_{M}) ως εξής:

    \[B\Gamma \perp \delta \Leftrightarrow \lambda_{B\Gamma} \cdot \lambda_{\delta} = -1\]

αλλά

    \[(\delta):\mathrm{y} = \mathrm{x} - 1}\Rightarrow \lambda_{\delta} = 1.\]

οπότε

    \[\lambda_{B\Gamma} \cdot 1 = -1 \Leftrightarrow \lambda_{B\Gamma} = -1\]

Αφού γνωρίζουμε το σημείο Β(5,2) και το συντελεστή διεύθυνσης \lambda_{B\Gamma} = -1 μπορούμε να βρούμε την ευθεία (\epsilon_{_{B\Gamma}})

έχουμε

    \[Β(5,2)\in (\epsilon_{_{B\Gamma}}): \mathrm{y} - \mathrm{y}_{B} = \lambda_{B\Gamma}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{B}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} - 2 = -1 \cdot (\mathrm{x} - 5) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{_{B\Gamma}}):\mathrm{y} = - \mathrm{x} + 7.\]

Το σημείο τομής Μ(x_{M},y_{M}) των ευθειών (\epsilon_{_{B\Gamma}}) και (\delta) έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος:

    \begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{y=-x+7} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x-1=-x+7} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x+x=1+7} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{2x=8} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x=4} \\ {y=x-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{x=4} \\ {y=4-1}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x=4} \\ {y=3}\end{array}\right\} \end{align*}

Άρα είναι Μ(4,3)
Έχουμε, Μ(4,3) είναι το μέσο των Β(5,2) και \Gamma(x_{\Gamma},y_{\Gamma}) άρα ισχύουν:
Από τους τύπους που μας δίνουν τις συντεταγμένες μέσου έχουμε:

    \[x_{M}=\dfrac {x_{B}+x_{\Gamma}}{2}, \quad  y_{M}=\dfrac {y_{B}+y_{\Gamma}}{2}\]

οπότε:

    \[2\mathrm{x}_{M} = \mathrm{x}_{B} + \mathrm{x}_{\Gamma} \Leftrightarrow 2 \cdot 4 = 5 + \mathrm{x}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} = 3\]

και

    \[2\mathrm{y}_{M} = \mathrm{y}_{B} + \mathrm{y}_{\Gamma} \Leftrightarrow 2 \cdot 3 = 2 + \mathrm{y}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{y}_{\Gamma} = 4\]

δηλαδή το ζηούμενο σημείο είναι το \Gamma(3,4).

Τελος αφού έχουμε βρεί δύο σημεία της ευθείας (\epsilon_{2}) το Α(2,1) και το \Gamma(3,4) μπορούμε τωρα να βρούμε και την εξίσωσή της.

Η (\epsilon_{2}) διέρχεται από τα σημεία Α(2,1) και \Gamma(3,4), οπότε έχει συντελεστή διεύθυνσης:

    \[\lambda = \dfrac{\mathrm{y}_{\Gamma} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{\Gamma} - \mathrm{x}_{A}} \Leftrightarrow\]

    \[\lambda_{A\Gamma} = \frac{4 - 1}{3 - 2} \Leftrightarrow \lambda_{A\Gamma} = 3\]

Άρα η ευθεία (\epsilon_{2}) έχει εξίσωση:

    \[Α(2,1)\in (\epsilon_{2}):\mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{A\Gamma} (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A}) \Leftrightarrow\]

    \[(\epsilon_{2}):\mathrm{y} - 1 = 3 (\mathrm{x} - 2) \Leftrightarrow \mathrm{y} = 3\mathrm{x} - 5.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *