ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου

Για τα διανύσματα \vec{α},\vec{\beta} και \vec{\gamma} ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

  1.  \color{violet}{(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}
  2.  \color{magenta}{\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}}
  3.  \color{orange}{\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1, εφόσον \color{orange}{\vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y}}


ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω ότι είναι:

    \[\vec{α} = (\mathrm{x}_{1},\mathrm{y}_{1}),\]

    \[\vec{\beta} = (\mathrm{x}_{2},\mathrm{y}_{1})\]

και

    \[\vec{\gamma} = (\mathrm{x}_{3},\mathrm{y}_{3}).\]

1.) Έχουμε:

    \begin{align*} (\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} &= (\lambda \mathrm{x}_{1}, \lambda \mathrm{y}_{1}) \cdot (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) \\ &= \lambda \mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2} + \lambda \mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2} \\ &= \lambda (\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}) \\ &= \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}) \quad (1) \end{align*}

επισης

    \begin{align*} \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) &= (\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \cdot (\lambda \mathrm{x}_{2}, \lambda \mathrm{y}_{2})\\ &= \lambda \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} + \lambda \mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2} \\ &= \lambda (\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}) \\\ &= \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}) \quad (1) \end{align*}

από (1) και (2) έχουμε:

    \[(\lambda \vec{α}) \cdot \vec{\beta} = \vec{α} \cdot (\lambda \vec{\beta}) = \lambda (\vec{α} \cdot \vec{\beta}), \lambda \in \mathbb{R}}\]

2.) Έχουμε:

    \[\vec{α} \cdot (\vec{\beta + \gamma}) =\]

    \[(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \cdot\Big[ (\mathrm{x}_{2}\, , \, \mathrm{y}_{2}) +(\mathrm{x}_{3}\, , \, \mathrm{y}_{3}) \Big ]=\]

    \[(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \cdot (\mathrm{x}_{2} + \mathrm{x}_{3}\, , \, \mathrm{y}_{2} + \mathrm{y}_{3}) =\]

    \[\mathrm{x}_{1} (\mathrm{x}_{2}+\mathrm{x}_{3}) + \mathrm{y}_{1} (\mathrm{y}_{2} + \mathrm{y}_{3})=\]

    \[\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} + \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} + \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2} + \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{3} =\]

    \[(\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} + \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}) + (\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{3} + \mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{3}) =\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}\]

3.)

Αφού \vec{α}, \vec{\beta} \nparallel y'y, και \vec{α} = (\mathrm{x}_{1},\mathrm{y}_{1}),
\vec{\beta} = (\mathrm{x}_{2},\mathrm{y}_{1}), θα ισχύει ότι \mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2} \neq 0. Έχουμε:

    \[\vec{α} \perp \vec{\beta}\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0\]

    \[\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \cdot (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2} = 0\]

    \[(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}) \cdot (\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}) = 0\]

    \[\mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2}+\mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2} = 0\]

    \[\mathrm{y}_{1}\mathrm{y}_{2} = -\mathrm{x}_{1}\mathrm{x}_{2}\]

    \[\frac{\mathrm{y}_{1}}{\mathrm{x}_{1}} \cdot \frac{\mathrm{y}_{2}}{\mathrm{x}_{2}} = -1\]

    \[\lambda_{\vec{α}} \lambda_{\vec{\beta}} = -1\]

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Υπολογίζουμε αρχικά το εσωτερικό γινόμενο \vec{α} \cdot \vec{\beta}.
Είναι:

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \sigma \upsilon \nu(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) \Leftrightarrow\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 2 \cdot 3\cdot \sigma \upsilon \nu60^{\circ} \Leftrightarrow\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 6 \cdot \frac{1}{2} \Leftrightarrow\]

    \[\vec{α} \cdot \vec{\beta} = 3.\]

Σημείωση
Από την επιμεριστική ιδιότητα:

    \[\vec{α} \cdot (\vec{\beta} + \vec{\gamma}) = \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \vec{α} \cdot \vec{\gamma}\]

προκύπτει ότι μπορούμε να αναπτύσσουμε παραστάσεις της μορφής:

    \[(\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta}) \cdot (\mu \vec{α} + \nu \vec{\beta}) \quad \text{ή} \quad (\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2}\]

όπως στους πραγματικούς αριθμούς.
Δηλαδή:

  • (\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta}) \cdot (\mu \vec{α} + \nu \vec{\beta}) = \kappa \mu \vec{α}^{2} + \lambda \mu \vec{\beta} \cdot \vec{α} + \kappa \nu \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda \nu \vec{\beta}^{2}

 

  •  (\kappa \vec{α} + \lambda \vec{\beta})^{2} = \kappa^{2} \vec{α}^{2} + 2\kappa \lambda \vec{α} \cdot \vec{\beta} + \lambda^{2}\vec{\beta}^{2}

α)Έχουμε:

    \[(2\vec{α}+3\vec{\beta}) \cdot (3\vec{α}-4\vec{\beta}) =\]

    \[\vec{α}^{2} - 8\vec{α} \cdot \vec{\beta} + 9\vec{\beta} \cdot \vec{α} -12\vec{\beta}^{2}=\]

    \[6 \lvert \vec{α} \rvert^{2} + \vec{α} \cdot \vec{\beta} - 12 \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} =\]

    \[6 \cdot 2^{2} + 3 - 12 \cdot 3^{2} = 24 + 3 -108 = -81\]

β) Έχουμε:

    \[(\vec{α}-2\vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2} - 4\vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vec{\beta}^{2} =\]

    \[\lvert \vec{α} \rvert^{2} - 4\vec{α} \cdot \vec{\beta} + 4\vert \vec{\beta \rvert^{2}}=\]

    \[2^{2} - 4 \cdot 3 + 4 \cdot 3^{2} =\]

    \[4 - 12 +36 =28.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *