ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΜΕΤΡΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΟΥ ΔΕΝ ΙΣΧΥΟΥΝ ΠΑΝΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

Σχέσεις που δεν ισχύουν πάντα

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

α) Επειδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων \vec{α} \cdot \vec{\beta}, είναι αριθμός τότε το \lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \rvert είναι η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού ενώ το \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert είναι το γινόμενο των μέτρων των διανυσμάτων \vec{α} και \vec{\beta}.
Αν για παράδειγμα, είναι

    \[\vec{α}, \vec{\beta} \neq \vec{0}\quad \text{ και} \quad (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}}) = \theta,\]

τότε:

    \[\vec{\alpha}\cdot \vec{\beta}=|\vec{\alpha}|\cdot|\vec{\beta}| \cdot \syn (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})\]

    \begin{align*} \Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert & = \Big\lvert \lvert \vec{α} \cdot\rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \syn \theta\Big\lvert\\\\ \Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert. \end{align*}

Επειδή ισχύει 0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ} διακρίνουμε τις περιπτωσεις:

ΠΕΡ.1.

\theta = 180^{\circ}, τότε \vec{α} \uparrow \downarrow \vec{\beta} και \syn\theta=\syn 180^{\circ}= -1

\theta = 0^{\circ}, τότε \vec{α} \uparrow \uparrow \vec{\beta} και \syn\theta=\syn 0^{\circ}= 1

δηλαδη έχουμε \vec{\alpha}// \vec{\beta} και \Big|\syn\theta\Big| =1 και θα ισχύει:

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert\]

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot 1\]

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert\]

ΠΕΡ.2.

Αν 0^{\circ} < \theta < 180^{\circ} και \theta \neq 90^{\circ} τοτε \vec{α} \nparallel \vec{\beta}
οπότε -1< \syn \theta <1 με \syn \theta \neq 0. δηλαδή 0 < \Big| \syn\theta \Big|<1
άρα θα ισχύει:

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert\]

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert < \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert.\]

ΠΕΡ.3.
Αν \theta = 90^{\circ} τοτε \vec{α} \perp \vec{\beta} και \syn\theta = 0
άρα θα έχουμε:

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert &= \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert \cdot \lvert \syn \theta \rvert\]

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert =0\]

Από ΠΕΡ.1. ΠΕΡ.2. και ΠΕΡ.3 έχουμε ότι:

    \[\Big\lvert \vec{α} \cdot \vec{\beta} \Big\lvert \leq \lvert \vec{α} \rvert \cdot\lvert \vec{\beta} \rvert.\]

ΤΟ ΙΣΟΝ ``=" ΙΣΧΥΕΙ ΟΤΑΝ \vec{\alpha}// \vec{\beta} ΜΟΝΟΝ

β) Ομοίως έχουμε:

    \[(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} =\]

    \[(\lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \theta)^{2} =\]

    \[\lvert \vec{α} \rvert^{2} \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} \sigma \upsilon \nu^{2}\theta =\]

    \[\vec{α}^{2} \vec{\beta}^2 \sigma \upsilon \nu^{2}\theta\]

Παίρνοντας τις ίδιες περιπτώσεις για την γωνία \theta οπώς στο ερώτημα α)
έχουμε: αν \sigma \upsilon \nu^{2}\theta \neq 1 \Leftrightarrow \syn\theta \neq \pm 1, δηλαδή αν \vec{α} \nparallel \vec{\beta}.

    \[(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2} \vec{\beta}^2 \sigma \upsilon \nu^{2}\theta\]

    \[(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2}\neq \vec{α}^{2} \vec{\beta}^2\]

Γενικά για οποιαδήποτε διανύσματα \vec{α} και \vec{\beta} ισχύει:

    \[(\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} \leq \vec{α}^{2}\vec{\beta}^{2}\]

Η ισότητα (\vec{α} \cdot \vec{\beta})^{2} = \vec{α}^{2}\vec{\beta}^{2} ισχύει όταν \sigma \upsilon \nu \theta = \pm 1, δηλαδή όταν \vec{α} \parallel \vec{\beta}.

γ) Αν θέσουμε

    \[\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma} = \lambda \in \mathbb{R}\quad \text{ και} \quad \vec{α} \cdot \vec{\beta} = \mu \in \mathbb{R},\]

τότε η ισότητα:

    \[\vec{α}(\vec{\beta} \cdot \vec{\gamma}) = (\vec{α} \cdot \vec{\beta}) \vec{\gamma}\]

γίνεται:

    \[\lambda \vec{α} = \mu \vec{\gamma}\]

η οποία ισχύει μόνο αν \lambda = \mu = 0 ή \vec{α} \parallel \vec{\gamma}.

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *