ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΚΑΙ ΚΑΘΕΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Print Friendly, PDF & Email

Κάθετα διανύσματα – Ορισμός και ιδιότητες εσωτερικού γινομένου}

Σε ασκήσεις που υπάρχει ως δεδομένο ή ως ζητούμενο ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα είναι κάθετα. χρησιμοποιούμε την ισοδυναμία:

    \[\vec{α} \perp \vec{\beta} \Leftrightarrow \vec{α} \cdot \vec{\beta} = 0.\]


ΑΠΟΔΕΙΞΗ
Έστω ότι δύο μή μηδενικά διανύσματα \vec{\alpha} και \vec{\beta} είναι κάθετα τότε θα ισχύει:

    \[(\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})= \dfrac{\pi}{2}.\]

Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου θα έχουμε:

    \begin{align*} \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta}| \cdot \syn (\widehat{\vec{α}, \vec{\beta}})\\\\ &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta} |\cdot \syn \dfrac{\pi}{2}\\\\ &= |\vec{\alpha}|\cdot |\vec{\beta}| \cdot 0\\\\ &= 0 \end{align*}

Άρα

    \[\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} =0.\]

ΠΡΟΣΟΧΗ

Προσοχή στο αντίστροφο!!!
αν \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} = 0 , τότε ή \vec{\alpha}=\vec{0} ή \vec{\beta} =\vec{0} ή \vec{\alpha} {\Large{\bot} \vec{\beta}.

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Τα διανύσματα \vec{u} και \vec{\nu} είναι κάθετα, αν και μόνο αν:

    \[\vec{u} \cdot \vec{\nu} = 0\]

    \[(3\vec{\alpha} - \vec{\beta}) \cdot (\kappa \vec{\alpha} + 2 \vec{\beta}) = 0\]

    \[3\kappa {\vec{\alpha}}^{2} + 6\vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - \kappa \vec{\alpha} \cdot \vec{\beta} - 2 {\vec{\beta}}^2 = 0 \quad (1)\]

Όμως ισχύουν:

    \begin{align*} & $\vec{α}^{2} = \lvert \vec{α} \rvert^{2} = 2^2 = 4\\\\ &\vec{\beta}^{2} = \lvert \vec{\beta} \rvert^{2} = 3^2 = 9\\\\ &\vec{α} \cdot \vec{\beta} = \lvert \vec{α} \rvert \lvert \vec{\beta} \rvert \sigma \upsilon \nu \frac{\pi}{3} \\\\ &= 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3. \end{align*}

Επομένως για \vec{\alpha}\cdot \vec{\beta} = 3 έχουμε

    \[(1) \Rightarrow 3 \kappa \cdot 4 +6 \cdot 3 - \kappa \cdot 3 - 2 \cdot 9 = 0\]

    \[12 \kappa +18 -3 \kappa - 18 = 0\]

    \[9 \kappa = 0\]

    \[\kappa = 0.\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *