ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ

Print Friendly, PDF & Email

ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΔΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ
Η απόσταση των σημείων A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) του Καρτεσιανού επιπέδου είναι ίση με:

    \[AB=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\]

Απόδειξη

Η απόσταση δύο σημείων AB είνα ίση με το μέτρο του διανύσματος που ορίζουν.


Η απόσταση (AB) των σημείων A(\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_1) και B(\mathrm{x}_2,\mathrm{y}_2) είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος \overrightarrow{AB}.
Όμως είναι:

    \[\overrightarrow{AB}=(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1,\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)\]

Επομένως έχουμε:

    \[\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\]

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

α) Η απόσταση των σημείων A(-1,6) και Β(-9,-2) του επιπέδου υπολογίζεται ως εξής:

    \begin{align*} (AB) & = \sqrt{{(\mathrm{x}_2-\mathrm{x}_1)}^2+{(\mathrm{y}_2-\mathrm{y}_1)}^2}\\\\ & = \sqrt{\big(-9 -(-1)\big)^{2} + (-2 -6)^{2}}\\\\ & = \sqrt{(9+1)^{2}+(-8)^{2}}\\\\ & = \sqrt{10^{2} + 8^{2}}\\\\ & = \sqrt{100 + 64}\\\\ & = \sqrt{164}. \end{align*}

Δηλαδή η απόσταση των σημείων A(-1,6) και Β(-9,-2) είναι:

    \[(AB) = \sqrt{164}.\]

β) Έστω Μ(\mathrm{x},0) το σημείο του άξονα x'x που ισαπέχει από τα σημεία A(-1,6) και Β(-9,-2). Τότε έχουμε:

    \begin{align*} & (ΜΑ)=(ΜΒ) \Leftrightarrow \\\\ &|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}| \Leftrightarrow \\\\ &{|\overrightarrow{MA}|}^2={|\overrightarrow{MB}|}^2 \Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{(\mathrm{x}+1)^2+6^2}^2=\sqrt{(\mathrm{x}+9)^2+2^2}^2 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{x^2}+2\mathrm{x}+1+36=\mathrm{x^2}+18\mathrm{x}+81+4 \Leftrightarrow \\\\ &16\mathrm{x}=-48 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{x}=-3. \end{align*}

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(-3,0)
γ) Έστω Ν(0,\mathrm{y}) το ζητούμενο σημείο του άξονα y'y που ισαπέχει από τα σημεία A(-1,6) και Β(-9,-2). Τότε έχουμε:

    \begin{align*} & (NΑ)=(NΒ) \Leftrightarrow \\\\ &|\overrightarrow{NA}|=|\overrightarrow{NB}| \Leftrightarrow \\\\ &{|\overrightarrow{NA}|}^2={|\overrightarrow{NB}|}^2 \Leftrightarrow\\\\ &\sqrt{1^2+(\mathrm{y}-6)^2}^2=\sqrt{9^2+(\mathrm{y}+2)^2}^2 \Leftrightarrow\\\\ &1+\mathrm{y^2}-12\mathrm{y}+36=81+\mathrm{y^2}+4\mathrm{y}+4 \Leftrightarrow \\\\ &16\mathrm{y}=48 \Leftrightarrow \\\\ &\mathrm{y}=-3. \end{align*}

Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το N(0,-3)

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *