ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

    \[\text{Αν\,\,}\lim_{x \to +\infty}f(x)=l\in\rr \,\,\text{αντιστοίχως} \quad \lim_{x \to -\infty}f(x)=l\in\rr,\]

τότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty, αντίστοιχα στο -\infty.

  • Μια συνάρτηση έχει το πολύ δύο οριζόντιες ασύμπτωτες, μία στο -\infty και μία στο +\infty.
  • Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε διαστήματα της μορφής (-\infty,\alpha), (\beta,+\infty), τότε για να βρούμε (αν υπάρχουν) τις οριζόντιες ασύμπτωτες της C_f, υπολογίζουμε τα όρια

        \[\lim_{x \to -\infty}f(x) \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}f(x)\]

    Αν κάποιο από τα παραπάνω όρια είναι ίσο με l\in\rr, τότε η ευθεία y=l είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C_f στο -\infty ή στο +\infty αντίστοιχα.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ

    ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Αν ένα τουλάχιστον απο τα όρια

        \[\lim_{x \to x_0^+}f(x), \quad \lim_{x \to x_0^-}f(x)\]

    είναι +\infty \quad \text{ή} \quad -\infty, τότε η ευθεία

        \[x=x_0\]

    λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

  • Αν η συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται πάνω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\geq \alpha x+\beta.\]

  • Αν η συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα \Delta και (\epsilon): \quad y=\alpha x+\beta είναι η εφαπτομένη της C_f σε ένα σημείο της M(x_0,f(x_0), με x_0\in\Delta, τότε η C_f βρίσκεται κάτω από την (\epsilon), με εξαίρεση το σημείο επαφής. Δηλαδή για κάθε x\in\Delta ισχύει ότι

        \[f(x)\leq \alpha x+\beta.\]

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ

    ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

    Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta.
    Για να είναι η f κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) στο \Delta αρκεί να ισχύει f''(x)\geq0 (αντίστοιχα f''(x)\leq0) για κάθε x\in\Delta και η ισότητα f''(x)=0 να ισχύει για διακεκριμένες τιμές του x.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

    Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta, της οποίας ο τύπος περιέχει μια παράμετρο.
    Αν θέλουμε να βρούμε τις τιμές της παραμέτρου, ώστε η γραφική παράστσταση, C_f, να έχει σημείο καμπής στο x_0, τότε απαιτούμε να ισχύει

        \[f''(x_0)=0.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΔΥΟ ΦΟΡΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ

    ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    Έστω μια συνάρτηση f πολλαπλού τύπου η οποία αλλάζει τύπο στο x_0. Για να μελετήσουμε την f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής, εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ