Για τον υπολογισμο του ορίου μιας συνάρτησης στο ισχύουν ότι:
ΓΕΝΙΚΑ.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ.
*
*
*
*
ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ.
Ο υπολογισμός ενός ορίου πραγματοποιείται συνήθως με τη βοήθεια των παρακάτω ιδιοτήτων, που ισχύουν
ΜΟΝΟ στην περίπτωση που τo και το ΥΠΑΡΧΟΥΝ.
*
*
* εφόσον
*
* εφόσον κοντά στο
*
* με
Για τον υπολογισμό ενός ορίου βρίσκουμε πρώτα, το πεδίο ορισμού της προκειμένου να ελέγξουμε αν έχει νόημα η αναζήτηση του ορίου. Στη συνέχεια, για να υπολογίσουμε το θέτουμε όπου το και εφόσον το αποτέλεσμα είναι ένας πραγματικός αριθμός (δηλαδη, δεν προκύπτουν απροσδιόριστες μορφές,) τότε το όριο είναι ίσο με
Παράδειγμα.1
Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια:
i )
ii )
iii)
Λύση
i ) Θεωρούμε τη συνάρτηση για την οποία θα πρέπει
Άρα το πεδίο ορισμού είναι
και άρα το ορίζεται.
Συνεπώς
Δηλαδή
ii ) Θεωρούμε τη συνάρτηση η οποία έχει πεδίο ορισμού
Άρα το ορίζεται.
Συνεπώς:
Δηλαδή
iii ) Ομοίως έχουμε ότι
Οπότε το
Παράδειγμα.2
Να υπολογίσετε το όριο
Λύση
Έχουμε
Θεωρούμε τη συνάρτηση
για την οποία θα πρέπει
και
Για να βρούμε το πεδιο ορισμού της συνάρτησης συναληθεύουμε τους παραπάνω περιορισμούς:
και έχουμε ότι:
Άρα το έχει νόημα.
Επιλέον στο Παράδειγμα.1 δείξαμε οτι υπάρχουν, αλλα και υπολογίσαμε τα όρια
Τελικά το ζητούμενο όριο γίνεται:
Παράδειγμα.3
Αν υπάρχουν τα όρια και να δειχθεί ότι υπάρχει στο το
Λύση
Επειδή υπάρχουν στο τα όρια, υποθέτουμε ότι και
επίσης για την ισχύει
Έχουμε ότι:
Τελικά το υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης, εκδόσεις Σαββάλα, Στεργίου, Νακής, εκδόσεις Σαββάλα, Παπακωνσταντίνου, αυτοέκδοση.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .