ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει $\xi\in(\alpha,\beta)$ , ώστε να ισχύει μια σχέση, εργαζόμαστε ως εξής:

Θέτουμε στη θέση του $\xi$ το $x$ και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε να έχουμε μια εξίσωση της μορφής

$g(x)=0$

Αν δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano για τη $g$ στο $[\alpha,\beta]$ , τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της $g$ , για την οποία ισχύει

$G'(x)=g(x)$

Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για τη $G$ στο $[\alpha,\beta]$ αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.

Παράδειγμα
Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ για την οποία ισχύει $f(1)=3 \quad$ και $\quad f(2)=6$
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\xi\in(1,2)$ τέτοιο ώστε $f'(\xi)=2\xi.$
Λύση
Θέτουμε όπου $\xi$ το $x$ ώστε να σχηματίσουμε μια εξίσωση:

$\begin{align*} &f'(x)=2x \Leftrightarrow\\ &f'(x)-2x=0 \quad (1) \end{align*}$

Η συνάρτηση

$h(x)=f'(x)-2x$

δεν γνωρίζουμε αν είναι συνεχής αφού δεν έχουμε ως δεδομένο ότι η $f'$ είναι συνεχής. Άρα δεν εφαρμόζεται το θεώρημα του Bolzano για την $h.$
Παρατηρούμε ότι η εξίσωση $(1)$ γίνεται:

$\begin{align*} &f'(x)-2x=0 \Leftrightarrow\\ &(f(x))'-(x^2)'=0 \Leftrightarrow\\ &(f(x)-x^2)'=0 \end{align*}$

Θέτουμε

$g(x)=f(x)-x^2$

Έχουμε:

Η $g$ είναι συνεχής στο διάστημα $[1,2]$ , ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων.(Αφου η $f$ συνεχής ως παραγωγίσιμη συνάρτηση απο υπόθεση.)

Η $g$ είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα $(1,2)$ ως πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: $g'(x)=f'(x)-2x.$

Επίσης είναι:

$g(1)=f(1)-1^2 =3-1 =2$
και
$g(2)=f(2)-2^2 =6-4 =2$
Άρα ισχύει: $g(1)=g(2)$
Επομένως η $g$ ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα $[1,2].$ Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi\in(1,2)$ τέτοιο ώστε: