Αρχείο ετικέτας DE L’ HOSPITAL

ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

Για τον ορισμό της παραγώγου ξέρουμε ότι ισοδύναμα ισχύει:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}, αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το παρακάτω όριο:

    \[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL


Παράδειγμα.1

Έστω f:\rr\to\rr μια συνάρτηση παραγωγίσιμη με f(0)=f'(0)=0, \, f''(0)=2.

Αν:

    \[ g(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{f(x)}{x}, \quad x\neq 0$ \\\\ 			$ 0, \quad x=0$  		\end{tabular} 	\right. \]

i_) Να βρείτε την g'(0).
ii_) Να δείξετε ότι η g' είναι συνεχής στο x_{0}=0.
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Η σωστή χρήση του κανονα του DE L HOSPITAL απαιτεί μεγάλη προσοχή.
Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=0 και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=0
όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\} και υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Συνέχεια ανάγνωσης Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \alpha,\beta και \gamma ώστε να ισχύει

    \[\lim_{x \to 1}\frac{\alpha e^{2x}+\beta x+\gamma}{(x-1)^2}=2\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή (+\infty)-(+\infty) ή (-\infty)-(-\infty). Για να υπολογίσουμε όρια αυτής της μορφής συνήθως βγάζουμε κοινό παράγοντα την f(x) ή τη g(x).

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x \to x_0}\bigg{[}f(x)\Big(1-\frac{g(x)}{f(x)}\Big)\bigg{]}\]

‘Οπου το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}\]

είναι της μορφής \frac{\infty}{\infty} και αν πληρούνται οι προυποθέσεις εφαρμόζουμε το κανόνα De L’Hospital.
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη άπειρο εις τη μηδενικη (\pm \infty)^{0}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 1^{\pm \infty}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή μηδέν εις την μηδενική 0^0, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή 0\cdot\infty. Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής:

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}...\]

ή αλλιώς

    \[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}...\]

Σε κάθε περίπτωση αν πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του de L’Hospital.
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ