Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Αν μια εξίσωση περιέχει μια πραγματική, παράμετρο \lambda \in \rr, τότε για να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του \lambda \in \rr, εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Στις ασκήσεις που αναζητάμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας μιας συνάρτησης, και δεν γνωρίζουμε συγκεκριμένο διάστημα στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, κάποιο απο τα υπαρξιακά θεωρήματα Bolzano, Rolle τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Έστω οτι η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [\alpha, \beta], τότε από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, η συνάρτηση f, παρουσιάζει ένα ελάχιστο m και ένα μέγιστο M.
Τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, είναι το διάστημα [m,M]. Για να βρούμε το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    Για να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της f.
  • Θεωρούμε την εξίσωση y=f(x) και τη λύνουμε ως προς x θέτοντας όπου χρειάζεται περιορισμούς για το y.
  • Απαιτούμε η λύση x που βρήκαμε να ανήκει στο πεδίο ορισμού της f.
  • Συναληθεύουμε τους περιορισμούς που έχουν προκύψει για το y και βρίσκουμε έτσι το σύνολο τιμών της f.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

    ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

    Αν f συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα A. Τότε το σύνολο τιμών της f το f(A) θα είναι το παρακάτω στις αντίστοιχες περιπτώσεις:

    • A=\left[\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε
      f(A)=\left[f(\alpha),f(\beta)\right]
    • A=\left[\alpha,\beta\right] με fΓνησίως φθίνουσα τότε
      f(A)=\left[f(\beta),f(\alpha)\right]
    • A=\left(\alpha,\beta\right] με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\alpha+}f(x),f(\beta) ]
    • A=\left(\alpha,\beta\right]με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=[f(\beta),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))}
    • A=[\alpha,\beta) με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=[f(\alpha), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • A=[\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσα τότεf(A)=(\displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),f(\alpha)]
    • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως αύξουσα τότε f(A)=(\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x), \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x))
    • A=(\alpha,\beta)με f Γνησίως φθίνουσατότε f(A)=( \displaystyle\lim_{x\to\beta^-}f(x),\displaystyle{\lim_{x\to\alpha+}f(x))

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΚΑΙ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

    ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

    Αν η f είναι συνεχής συνάρτηση στο \left[\alpha,\beta\right], τότε η f παίρνει στο \left[\alpha,\beta\right] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m.
    Δηλαδή, υπάρχουν x_1,x_2\in\left[\alpha,\beta\right] τέτοια ώστε, αν m=f(x_1) και M=f(x_2), να ισχύει

        \[m\leq f(x)\leq M, \quad \text{για κάθε} \quad x\in\left[\alpha,\beta\right]\]

    Αν m =M Τότε η f είναι σταθερή στο [\alpha , \beta]
    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ