Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΘΕΤΟ ΟΡΙΟ

ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

Για τον ορισμό της παραγώγου ξέρουμε ότι ισοδύναμα ισχύει:
Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο x_{0}\in A_{f}, αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το παρακάτω όριο:

    \[\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL


Παράδειγμα.1

Έστω f:\rr\to\rr μια συνάρτηση παραγωγίσιμη με f(0)=f'(0)=0, \, f''(0)=2.

Αν:

    \[ g(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{f(x)}{x}, \quad x\neq 0$ \\\\ 			$ 0, \quad x=0$  		\end{tabular} 	\right. \]

i_) Να βρείτε την g'(0).
ii_) Να δείξετε ότι η g' είναι συνεχής στο x_{0}=0.
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΑΣ DE L HOSPITAL

Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Η σωστή χρήση του κανονα του DE L HOSPITAL απαιτεί μεγάλη προσοχή.
Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=0 και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=0
όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\} και υπάρχει το όριο \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Συνέχεια ανάγνωσης Η ΣΩΣΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία y=4x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +\infty της C_f. Να βρεθούν τα όρια

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ

ΣΥΝΘΕΤΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΡΙΖΙΚΑ

Παράδειγμα.1.
Να υπολογισθεί το όριο στο συν άπειρο

    \[\lim_{x\to +\infty}\Big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{4x^{2}+5x+1}-3x+1\Big).\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΘΕΤΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΡΙΖΙΚΑ

ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.1.
Αν \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=-\infty, να υπολογισθεί το όριο

    \[\lim_{x\to 1} \Big[ \sqrt{4f^{2}(x)-3f(x)+2}+f(x)\Big]\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

Για να υπολογίσουμε το μη πεπερασμένο όριο στο x_{0}\in \rr που περιέχει απόλυτες τιμές, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το πρόσημο των παραστάσεων που είναι μέσα στο απόλυτο λαμβάνοντας υπόψιν

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = +\infty \quad \text{τότε} \, f(x)>0.\]

    \[\text{Αν} \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) = -\infty \quad \text{τότε} \, f(x)<0.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥ ΟΡΙΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ

ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ

Έστω οτι έχουμε να υπολογίσουμε ένα σύνθετο όριο απροσδιόριστης μορφής που περιέχει την συνάρτηση f(x). Εάν γνωρίζουμε ότι \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\pm \infty τότε:

  • Βγάζουμε κοινό παράγοντα το f(x) στη μεγαλύτερη δύναμη.
  • Στους προσθετέους που δεν υπάρχει κοινος παράγοντας κάνουμε αναγκαστική παραγοντοποίηση και δημιουργούνται κλάσματα της μορφής \dfrac{1}{\big(f(x)\big)^{\nu}}, με \nu \in \mathbb{Ν}^{*}
  • Ισχύουν οι ιδιότητες:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΑΓΚΑΣΤΙΚΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΟΡΙΩΝ