Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

Παράδειγμα.
Έστω η συνάρτηση f: \rr \to \rr για την οποία ισχύει

    \[f(x^{2}+6)+ f(5x) = 0, \quad x\in \rr.\]

Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συναρτησης f τέμνει τον άξονα x'x σε δύο τουλάχιστον σημεία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Παράδειγμα.1.
Αν για την συνάρτηση f, ισχύει, για κάθε x,  y \in (0,+\infty)

    \[f(x\cdot y) = f(x)+ f(y)\]

Να δείξετε ότι
i) Αν η f είναι συνεχής στο x_{0} =1, τότε είναι συνεχής στο (0, +\infty)
ii) Αν η f είναι συνεχής για κάθε \alpha \in (0,+\infty) και \alpha \neq 1
τότε η f είναι συνεχής σε όλο το διάστημα (0 , +\infty).
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

Παράδειγμα.
Αν για την συνάρτηση ισχύει:

    \begin{displaymath} 		       f(x\cdot y) = f(x) +f(y), \quad x,y \in \mathbb{R^{*}} 		      \end{displaymath}

Να δείξετε ότι:

i) f(1) =0

ii) f\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg) = -f(x)

iii) f\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg) = f(x) -f(y)

iv)Αν επιπλέον η f(x) =0 \, ισχύει μόνο για \, x =1 \, τότε η f \, είναι 1-1.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Παράδειγμα.1
Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} είναι και 1-1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \Big(f \circ f\Big)(x+2)=f(3x-4), να δειχθεί ότι

    \[f(x)=3x-10.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

    \[f(x+y),\]

τις αντιμετωπίζουμε με μία απο τις παρακάτω αντικαταστάσεις:

  • όπου x και y το 0.
  • όπου y το -x.
  • όπου x το y και αντιστρόφως.
  • όπου y το μηδέν οπότε έχουμε ισότητα μόνο ως προς x.
  • Για συναρτησεις δύο μεταβλητων της μορφής,

        \[f(x\cdot y),\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    Παράδειγμα
    Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει

        \[f^3(x)+3xf(x)=x^3-1, \quad x\in\mathbb{R}\]

    Να βρείτε τις τιμές f(0) και f'(0)
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΣΧΕΣΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

    Έστω ότι έχουμε μια σχέση δύο μεταβλητών x,y\in\mathbb{R} στην οποία τα δύο μέλη είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Τότε μπορούμε:

    ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

    Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2 της οποίας η γραφική παράσταση δεν διέρχεται απο την αρχή των αξόνων. Επιπλέον ισχύει

        \[f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in\mathbb{R}\]

    i) Να βρείτε την τιμή f(0).
    ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in\mathbb{R} και ισχύει

        \[f'(x_{0})=2f(x_0)-\eta\mu x_0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ