Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της f χωρίς το απόλυτο. Τότε η f γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

    \[f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}\]

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

με \alpha<x_o <\beta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Για να έχει νόημα το

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

    πρέπει η f να είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] άρα και στο x_0.

  • Επίσης:

        \begin{eqnarray*} 		\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ 									&=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ 									&=&... 	\end{eqnarray*}

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    Στη περίπτωση που η συνάρτηση f, είναι ασυνεχής σε ένα σημείο x_{0} του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0}) και η f αυξάνεται αριστερά του x_{0} και φθίνει δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0}) και η f φθίνει αριστερά του x_{0} και αυξάνεται δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

    Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κοντά στη περιοχή του x_{0} μας βοηθά στην απάντηση μας.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$  \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Αν για μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2, όπου \Delta_1 και \Delta_2 διαστήματα και η παράγωγος f' διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο x των \Delta_1 και \Delta_2, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_1 και \Delta_2.
    Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    Για να υπολογίσουμε τη μονοτονία συνάρτησης πολλαπλού τύπου, δηλαδή για να μελετήσουμε ως προς τη μονοτονία μια συνάρτηση της μορφής

        \[f(x)=\left\{                                                                                      		\begin{tabular}{ll} 									$f_1(x),$ & $x\leq x_0$ \\\\ 									$f_2(x),$ & $x >x_0$\\ 									\end{tabular} 									\right.  									\]

    εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Παράδειγμα.1.
    Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha \in \rr, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}},$ & $x>2$ \\\\                         $ \alpha x^{2}-5x +4\alpha, $ &   $ x\leq 2$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

    * Μια συνάρτση f την λέμε συνεχή στο x_{0} του πεδίου ορισμού της, όταν

        \[\lim_{x \to x_{0}}f(x) = f(x_{0}.)\]

    *Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής συνάρτηση, όταν είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ

    ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο στο x_o μιας συνάρτησης με κλάδους.

  • Αν το x_o, είναι σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και εφαρμόζουμε το παρακάτω κριτήριο:
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    Παράδειγμα.1
    Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{     \begin{tabular}{ll} 		$\sqrt{x}-\dfrac{1}{x},  \quad  x > 0$ \\\\ 		$1-2x^3+e^{-x}, \quad x \leq 0$  	\end{tabular} 	\right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ