Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΝΑ ΠΡΟΣ ΕΝΑ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Για να λύσουμε εξισώσεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με τη βοήθεια της μονοτονίας διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα
Χρησιμοποιώντας την παραπάνω πρόταση μπορούμε να λύσουμε μια εξίσωση ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

Παράδειγμα.
Αν για την συνάρτηση ισχύει:

    \begin{displaymath} 		       f(x\cdot y) = f(x) +f(y), \quad x,y \in \mathbb{R^{*}} 		      \end{displaymath}

Να δείξετε ότι:

i) f(1) =0

ii) f\bigg(\dfrac{1}{x}\bigg) = -f(x)

iii) f\bigg(\dfrac{x}{y}\bigg) = f(x) -f(y)

iv)Αν επιπλέον η f(x) =0 \, ισχύει μόνο για \, x =1 \, τότε η f \, είναι 1-1.
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ισχύουν:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:

        \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:

        \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Rendered by QuickLaTeX.com

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
    Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:
  •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:
  •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}. Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Παράδειγμα.1
    Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} είναι και 1-1 και για κάθε x\in \mathbb{R} ισχύει \Big(f \circ f\Big)(x+2)=f(3x-4), να δειχθεί ότι

        \[f(x)=3x-10.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1 ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Μια εξίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

  • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
  • Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με f(x), οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή f(x)=0
  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα x_{0} της εξίσωσης f(x)=0
  • Η εξίσωση γίνεται

        \begin{align*} 		&f(x)=0 \Leftrightarrow\\ 		&f(x)=f(x_{0}) \stackrel{1-1}{\Leftrightarrow} \\ 		&x=x_{0} 	\end{align*}

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1-1 ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε η συνάρτηση f είναι και 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Αν για μία συνάρτηση f διαπιστώσουμε ότι είναι άρτια ή περιοδική ή ότι για δύο διαφορετικές τιμές του x π.χ x_{1},x_{2} είναι f(x_{1})=f(x_{2}) τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 αφου θα έχουμε x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΟΡΙΣΜΟΣ
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).\]

    ισοδύναμος ορισμός
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1