Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση f(x)=2x^3+3\alpha x^2+6x-4 \quad \text{με} \,\alpha\in\rr.
Να βρείτε για ποιές τιμές του \alpha η f είναι γνησίως αύξουσα στο \rr.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΝΗΣΙΩΣ ΜΟΝΟΤΟΝΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha \in \rr, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

    \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}},$ & $x>2$ \\\\                         $ \alpha x^{2}-5x +4\alpha, $ &   $ x\leq 2$  		\end{tabular} 	\right. \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha,\beta \in \rr, ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή του \lambda\in \rr, ώστε να ισχύει:

    \[\displaystyle\lim_{x\to 2}\dfrac{x-3}{x^{2}+\lambda x+\lambda +8}=-\infty.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Για να βρούμε το όριο \displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x) όπου η f(x) είναι μια παραμετρική συνάρτηση, υπολογίζουμε το όριο με τους γνωστούς τρόπους και διακρίνουμε περιπτώσεις για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων.
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΟΡΙΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

Παράδειγμα
Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς \lambda και \mu ώστε να ισχύει

    \[\lim_{x\to -1}\dfrac{2x^2+\lambda x+\mu}{x^2+3x+2}=5.\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ

ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο στο x_o μιας συνάρτησης με κλάδους.

  • Αν το x_o, είναι σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και εφαρμόζουμε το παρακάτω κριτήριο:
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    Παράδειγμα.1
    Να βρείτε για ποιές τιμές του \lambda \in \mathbb{R} το πεδίο ορισμού της συνάρτησης

        \[f(x)=\ln[(\lambda-2)x^2+(\lambda+1)x+\lambda +1]\]

    είναι το \mathbb{R}.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

    ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\beta) και
  • f(\alpha)=f(\beta).
    Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE