Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της f χωρίς το απόλυτο. Τότε η f γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

    \[f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}\]

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

με \alpha<x_o <\beta εργαζόμαστε ως εξής:

  • Για να έχει νόημα το

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx\]

    πρέπει η f να είναι συνεχής στο [\alpha, \beta] άρα και στο x_0.

  • Επίσης:

        \begin{eqnarray*} 		\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ 									&=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ 									&=&... 	\end{eqnarray*}

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    Στη περίπτωση που η συνάρτηση f, είναι ασυνεχής σε ένα σημείο x_{0} του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0}) και η f αυξάνεται αριστερά του x_{0} και φθίνει δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0}) και η f φθίνει αριστερά του x_{0} και αυξάνεται δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

    Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κοντά στη περιοχή του x_{0} μας βοηθά στην απάντηση μας.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$  \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Θεώρημα Fermat
    Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta.
    Αν ισχύουν τα παρακάτω

    • η f παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο x_0,
    • το x_0 είναι εσωτερικό σημείο του \Delta,
    • η f είναι παραγωγίσιμη στο x_0,

    τότε f'(x_0)=0.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Αν για μια συνάρτηση f ορίζεται στο σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2, όπου \Delta_1 και \Delta_2 διαστήματα και η παράγωγος f' διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο x των \Delta_1 και \Delta_2, τότε η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα \Delta_1 και \Delta_2.
    Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η f είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο A=\Delta_1\cup\Delta_2.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Παράδειγμα.1.
    Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha \in \rr, ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση

        \[ f(x)=\left\{ 		\begin{tabular}{ll} 			$\dfrac{5x -10}{x+1-\sqrt{x+7}},$ & $x>2$ \\\\                         $ \alpha x^{2}-5x +4\alpha, $ &   $ x\leq 2$  		\end{tabular} 	\right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΣΕ ΣΥΝΕΧΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ

    ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο στο x_o μιας συνάρτησης με κλάδους.

  • Αν το x_o, είναι σημείο στο οποίο αλλάζει ο τύπος της συνάρτησης, τότε παίρνουμε πλευρικά όρια και εφαρμόζουμε το παρακάτω κριτήριο:
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΚΛΑΔΟΥΣ

    ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    Έστω δύο συναρτήσεις f,g με πεδία ορισμού A και B αντίστοιχα. Τότε οι πράξεις του αθροίσματος, διαφοράς, γινόμενου και πηλίκου ορίζονται ως εξής:

  • S(x)=f(x)+g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • D(x)=f(x)-g(x), για x \in A\cap B (Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • P(x)=f(x)\cdot g(x), για \quad x \in A\cap B(Δηλαδή το άθροισμα S έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B δηλαδή το σύνολο A\cap B.)
  • R(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}, για \{x \in A\cap B \quad / \quad g(x) \neq 0\} (Δηλαδή το πηλίκο R έχει πεδίο ορισμού τα κοινά στοιχεία των συνόλων A και B, τέτοια ώστε να μην μηδενίζουν τον παρονομαστή, δηλαδή το σύνολο \{x \in A\cap B \quad /  \quad g(x) \neq 0\}).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ