Αρχείο ετικέτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} παραγωγίσιμη στο 0 με f'(0)=2 της οποίας η γραφική παράσταση δεν διέρχεται απο την αρχή των αξόνων. Επιπλέον ισχύει

    \[f(x+y)=f(x)f(y)-\eta\mu x \eta\mu y \quad \text{για κάθε} \quad x,y\in\mathbb{R}\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in\mathbb{R} και ισχύει

    \[f'(x_{0})=2f(x_0)-\eta\mu x_0\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

Δίνεται συνεχής συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[\lim_{x \to 0}\frac{xf(x)-\eta\mu^2 x}{x^2}=8\]

i) Να βρείτε την τιμή f(0).
ii) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
iii) Να υπολογίσετε το

    \[\lim_{x \to 0}\frac{f(x)\eta\mu x}{\eta\mu^23x}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} για την οποία ισχύει ότι

    \[2x-3x^2\leq f(x)\leq2x+x^2\]

για κάθε x\in\mathbb{R}.
Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 και να βρείτε την f'(0).
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΜΕ ΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\left\{         	\begin{tabular}{ll} 				$x^3,  \quad x \geq2$ \\ 				$x^2+\alpha x+\beta, \quad x < 2$  			\end{tabular} 		\right.  		\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha,\beta\in\mathbb{R}, ώστε η συνάρτηση f να είναι παραγωγίσιμη στο 2.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΣΕ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

Όταν μας ζητούν να βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης f(x) πολλαπλού τύπου σε ένα σημείο x_o στο οποίο αλλάζει ο τύπος εργαζόμαστε ως εξής:
* Βρίσκουμε τα πλευρικά όρια:

    \[\lim_{x \to x_o^-}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και

    \[\lim_{x \to x_o^+}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

* Αν τα παραπάνω όρια είναι ίσα με έναν πραγματικό αριθμό l τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο x_o και ισχύει f'(x_o)=l. Σε κάθε άλλη περίπτωση η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x_o.
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x_o του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το

    \[ \displaystyle\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\]

και είναι πραγματικός αριθμός.
Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x_o και συμβολίζεται με f'(x_o). Δηλαδή:

    \[f'(x_o)=\lim_{x\to x_{o}}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Αν, τώρα στo όριο θέσουμε
x=x_o+h  \,\, (1), τότε έχουμε

    \[x \to x_{o}\overset{(1)}{\Rightarrow}x_o+h \to x_{0} \Rightarrow h \to x_{0}-x_{0}\Rightarrow h \to 0\]

Επίσης x-x_{0} \overset{(1)}{=} x_{0} +h -x_{0} =h άρα

f'(x_o)=\displaystyle\lim_{x \to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}\Leftrightarrow f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}

Συνεπως ο ισοδύναμος ορισμός υπολόγισμου της παραγώγου είναι:

    \[f'(x_o)=\displaystyle\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x_o+h)-f(x_o)}{h}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ