Αρχείο ετικέτας ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ


Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:

    \[x = \alpha +\beta - u.\]

οπότε έχουμε:

    \[dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

    \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • θέτουμε u =f^{-1}(x)\Rightarrow   f(u) = x, οπότε f'(u)du = dx
  • Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

  • για x=\alpha έχουμε: f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.
  • για x=\beta έχουμε: f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.
  •     \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]

    Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    Στα ολοκληρώματα ρητής ή άρρητηςσυνάρτησης όπου η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο ως x^{2} αρκετές φορές χρειάζεται να κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου ή της εφαπτομένης αξιοποιόντας την ταυτότητα \hm^{2}x+ \syn^{2}x =1.

    Τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου


    Για υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής

        \[\int_{\kappa}^{\lambda} f\Big( x, \sqrt{\beta^{2} -\alpha^{2}x^{2}}\Big)\, dx.\]

    Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου δηλαδή:

        \[\text{Θέτουμε } \quad x = \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \hm u \quad \text{με} \quad u \in \big[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\big].\]


    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


    Για την ολοκλήρώση τριγωνομετρικων συναρτήσεων της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} \hm^{\nu}x \cdot \syn^{\mu}x \,\, dx\]

    διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν το \hm x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \syn x.
  • Αν το \syn x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \hm x.
  • Αν το \hm x και το \syn x είναι υψωμένο σε άρτια δύναμη, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους του αποτετραγωνισμού
    \syn^{2}x =\dfrac{1+\syn2x}{2} και \hm^{2}x =\dfrac{1-\syn2x}{2}.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

    ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x =u.
    Οπότε:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x=u.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ