Αρχείο ετικέτας ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή (+\infty)-(+\infty) ή (-\infty)-(-\infty). Για να υπολογίσουμε όρια αυτής της μορφής συνήθως βγάζουμε κοινό παράγοντα την f(x) ή τη g(x).

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x \to x_0}\bigg{[}f(x)\Big(1-\frac{g(x)}{f(x)}\Big)\bigg{]}\]

‘Οπου το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}\]

είναι της μορφής \frac{\infty}{\infty} και αν πληρούνται οι προυποθέσεις εφαρμόζουμε το κανόνα De L’Hospital.
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη άπειρο εις τη μηδενικη (\pm \infty)^{0}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 1^{\pm \infty}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΠΡΟΣ ΑΠΕΙΡΟ

Αν \displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=+\infty και \displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=+\infty με x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}

και υπάρχει το \displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)} πεπερασμένο ή άπειρο τότε:

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΠΡΟΣ ΑΠΕΙΡΟ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία y=4x+2 είναι πλάγια ασύμπτωτη στο +\infty της C_f. Να βρεθούν τα όρια

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2f(x)-4x^3}{xf(x)-2010} \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)(x+1)-4x^2}{3x-2010}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Παράδειγμα.
Δίνεται η συνάρτηση

    \[f(x)=\frac{\alpha x^2+\beta x}{x-2}, \quad \alpha,\beta\in\rr\]

Να βρείτε τις τιμές των \alpha και \beta, ώστε η ευθεία (\epsilon): y=2x-1 είναι ασύμπτωτη της C_f στο +\infty.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΗ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Η ευθεία y=\lambda x+\beta είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty αν και μόνο αν:

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to +\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

αντιστοίχως στο -\infty

    \[\lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x}=\lambda\in\rr \quad \text{και} \quad \lim_{x \to -\infty}[f(x)=\lambda x]=\beta\in\rr\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Παράδειγμα.1.
Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου \alpha,\beta \in \rr, ώστε να υπάρχει το όριο στο άπειρο και να ισχύει:

    \[\lim_{x\to +\infty}\dfrac{(\alpha -2)\cdot x^{2}+(3\alpha -2\beta)\cdot x+ 7}{(\beta +3)\cdot x-13}=4.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Παράδειγμα.1.
Για τις διάφορες τιμές του \lambda \in \rr, να υπολογισθεί το παρακάτω όριο:

    \[\lim_{x\to -\infty}\Big((\lambda^{2}-4)x^{3}+(\lambda +2)x-3\Big).\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΟΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ