Αρχείο ετικέτας ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

    \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

Οπότε έχουμε:

    \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
ως προς x.

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

  • Στις περιπτωσεις υπολογισμου ορισμένου ολοκληρώματος που που περιέχει πρωτοβάθμιο πολυώνυμο της μορφής:
    \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{2}\big) \,dx \,\, \text{ή} \,\, \dint_{\alpha}^{\beta} f\big ( x, (\kappa x +\lambda)^{3}\big) \,dx, \, \kappa \in \rr^{*}
    εκτελουμε τις γνωστές ταυτότητες.
  • Παράδειγμα.1.
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{1}(x-1)^{2}\cdot (3x+2) dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ


    Η μέθοδος της ολοκληρωσης με αντικατατάσταση ( ή αλλαγη μεταβλητής ) περιγράφεται από τον τύπο:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Big( g(x)\Big) \cdot g'(x) dx = \int_{u_{1}}^{u_{2}} f(u) du.\]

    όπου f και g' συνεχείς συναρτήσεις με u = g(x), \, du =g'(x) dx και u_{1}= g(\alpha), u_{2} =g(\beta).

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ – ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ