Αρχείο ετικέτας ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Γενικά, για να υπολογίσουμε ένα ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f, στο [\alpha ,\beta], θα πρέπει να είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε την αρχική (παράγουσα) συνάρτηση G της f.
Δηλαδή εάν G, είναι μια παράγουσα της f, με f(x)=G'(x) τότε για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος έχουμε:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \int_{\alpha}^{\beta}G'(x)dx = \Big[ G(x)\Big]_{\alpha}^{\beta}.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

    \[\int_{1}^{2} 6x^2ydx\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛOΚΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΜΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Παράδειγμα
Να βρείτε το πραγματικό αριθμό \alpha για τον οποίο ισχύει:

    \[\int_{-\alpha}^{\alpha} (4x+6)dx=36\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΚΡΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ένα διάστημα [\alpha,\beta].
Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [\alpha,\beta], τότε

    \[\int_{\alpha}^{\beta} f(t)dt=G(\beta)-G(\alpha)\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ

Τα παρακάτω θεωρήματα, μας δινουν τις βασικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1ο
Έστω f,g συνεχείς συναρτήσεις στο [\alpha,\beta] και \lambda,\mu\in\rr. Τότε ισχύουν

    \begin{align*} 	&\int_{\alpha}^{\beta} \lambda f(x)dx=\lambda\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx. \\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[f(x)+g(x)\big]dx=\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx.\\\\ 	&\int_{\alpha}^{\beta} \big[\lambda f(x)+\mu g(x)\big]dx=\lambda \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx+\mu \int_{\alpha}^{\beta} g(x)dx. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ