Αρχείο ετικέτας ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

Παράδειγμα.1.
Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

Λύση

Στο ολοκλήρωμα:

    \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

Θέτουμε \hm x=u.

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx  = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow  k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ


    Αν στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου, στον παρονομαστή υπάρχει ως παράγοντας τριωνυμο που δεν παραγοντοποιειται.
    Τότε το αντίστοιχο κλάσμα της αρχικής μορφοποίησης γίνεται:

        \[\dfrac{Ax+B}{\alpha x^{2}+\beta x +\gamma}\]

    Παράδειγμα.1.

    Να υπολογισθεί το ορισμένο ολοκλήρωμα της παρακάτω ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{-1}^{0}\dfrac{x+1}{x^{3}-1}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΩΝΥΜΟ ΠΟΥ ΔΕΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΕΙΤΑΙ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή. Εκτελούμε την διαίρεση P(x): Q(x) και γράφουμε:

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]

        \[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]

    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ – ΙΣΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι μικρότερος απο τον βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή προσπαθούμε να γράψουμε τον παρονομαστή ως γινόμενο πρωτοβάθμιων πολυωνύμων και στη συνέχεια την ρητη συνάρτηση ως άθροισμα κλασμάτων με παρονομαστή τον κάθε ένα απο τους παράγοντες που βρήκαμε.

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{(\alpha_{1}x+\beta_{1})\cdots(\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu} )}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}x+\beta_{1}}+\cdots +\dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}x+\beta_{\nu}}\Big) dx =\]

        \[\dfrac{A_{1}}{\alpha_{1}}\Big[\ln |\alpha_{1}x+\beta_{1}|\Big]_{\alpha}^{\beta}+ \cdots + \dfrac{A_{\nu}}{\alpha_{\nu}}\Big[ \ln |\alpha_{\nu}x +\beta_{\nu}|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]



    Παράδειγμα

    Να υπολογισθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα ρητης συνάρτησης:

        \[\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}\, dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Ο ΒΑΘΜΟΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΗ ΕΙΝΑΙ ΜΙΡΚΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΒΑΘΜΟ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης όπου ο αριθμητής είναι η παράγωγος του παρονομαστη γράφουμε

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{Q'(x)}{Q(x)}dx =\]

        \[\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\ln \big|{Q(x)}\big|\Big)'dx =\]

        \[\Big[\ln \big|{Q(x)}\big|\Big]_{\alpha}^{\beta}\]


    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

        \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{2x+3}{x^{2}+3x+5}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης Ο ΑΡΙΘΜΗΤΗΣ ΕΙΝΑΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ