ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Archives

Έστω μια συνάρτηση $f$ συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta$ . Θα λέμε ότι:

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο $\Delta$ αν η $f'$ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του $\Delta.$

Η συνάρτηση $f$ στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο $\Delta$ αν η $f'$ είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του $\Delta.$

ΘΕΩΡΗΜΑ
Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα $\Delta$ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του $\Delta.$

Αν $f''(x)>0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι κυρτή στο $\Delta.$

Αν $f''(x)<0$ για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ του $\Delta$ , τότε η $f$ είναι κοίλη στο $\Delta.$

Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

$A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)$

μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση $f(x),$ οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$
Μελετάμε την $f$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το $0,$ οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:
$f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0$

Ν. Α. Διακόπουλος