Αρχείο ετικέτας ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 8

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 9

ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 9

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 9

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 11

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 11

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ 11

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

Rendered by QuickLaTeX.com

Απάντηση
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

    \[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]

για κάθε x\in\Delta και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση f που είναι συνεχής στο κλειστό [\alpha,\beta] παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [\alpha,\beta]. Δηλαδή υπάρχουν με f(x_1)=\mu και f(x_2)=M,
ώστε \mu\leq f(x)\leq M για κάθε x\in[\alpha,\beta].

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
και η g έχει ολικό μέγιστο το M
και ισχύει \mu\geq M,
τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό ελάχιστο \mu>0 τότε ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in A.
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό μέγιστο M<0 τότε ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in A.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

        \[A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)\]

    μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
    • Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f(x), οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το 0, οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)>0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)<0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ