Αρχείο ετικέτας ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

    \[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]

για κάθε x\in\Delta και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση f που είναι συνεχής στο κλειστό [\alpha,\beta] παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [\alpha,\beta]. Δηλαδή υπάρχουν με f(x_1)=\mu και f(x_2)=M,
ώστε \mu\leq f(x)\leq M για κάθε x\in[\alpha,\beta].

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
και η g έχει ολικό μέγιστο το M
και ισχύει \mu\geq M,
τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό ελάχιστο \mu>0 τότε ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in A.
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό μέγιστο M<0 τότε ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in A.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

        \[A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)\]

    μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
    • Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f(x), οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το 0, οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)>0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)<0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

    Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η f παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο x_0, το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος \Delta του πεδίου ορισμού της f, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι f'(x_0)=0. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

    ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης f περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο x_0, τότε για να βρούμε τις παραμέτρους εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    Στη περίπτωση που η συνάρτηση f, είναι ασυνεχής σε ένα σημείο x_{0} του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0}) και η f αυξάνεται αριστερά του x_{0} και φθίνει δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0}) και η f φθίνει αριστερά του x_{0} και αυξάνεται δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

    Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κοντά στη περιοχή του x_{0} μας βοηθά στην απάντηση μας.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

    Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$  \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ