Αρχείο ετικέτας ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH5

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH5

Rendered by QuickLaTeX.com


ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ NIH5

Φ7/200

Φ6/201

ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ


Ξέρουμε ότι: το ορισμένο ολοκλήρωμα \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx είναι σταθερός αριθμός.
Δηλαδή \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx =c, \quad c\in \rr, οπότε θα ισχύει: \bigg(\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx\bigg)'=0.
Συνεπώς στην περίπτωση που έχουμε μια ισότητα I η οποία περιέχει τις f(x), f(x) και το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx και θέλουμε να βρούμε την f τότε:

  • Θέτουμε c=\dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx \quad (1.)
  • Αντικαθιστούμε στη σχέση I το \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) dx με το c
  • Βρίσκουμε την συνάρτηση f συναρτήσει του c και
  • Την αντικαθιστούμε στη σχέση (1).

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΟ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΕΚΦΡΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Παράδειγμα.
Να εκφράσετε τη συνάρτηση f, ώς σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων, αν ισχύει:
i.) \quad f(x) = e^{-x} \quad ii.) \quad f(x) = \syn^{3}(2x)+1
iii.) f(x) = e^{g(x)}-g^{3}(x)-\hm g(x) όπου g:\rr \to\rr.
Συνέχεια ανάγνωσης ΕΚΦΡΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΩΣ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

Αν για δύο συναρτήσεις f και g ισχύει ότι:

    \[f'(x)=g'(x)\]

για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1, \Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

    \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $g(x)+c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $g(x)+c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right.  \]

Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

  • Οι f,g είναι συνεχείς στο \Delta και
  • f'(x)=g'(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta
  • Τότε υπάρχει σταθερά c τέτοιο ώστε για κάθε x\in\Delta να ισχύει:

        \[f(x)=g(x)+c\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΙΣΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: f'(x)=0 για κάθε x\in\Delta_1\cup\Delta_2\cup... όπου \Delta_1,\Delta_2,... διαστήματα, τότε είναι:

        \[f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $c_1, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_1$ \\ $c_2, \quad \text{αν} \quad x\in\Delta_2$ \\ $\vdots$ \end{tabular} \right. \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

    ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα \Delta. Αν:

    • Η f είναι συνεχής στο \Delta και
    • f'(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του \Delta

    τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \Delta.

    Για τις ασκήσεις, για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση f είναι σταθερή σε ένα διάστημα \Delta, εργαζόμαστε ως εξής:

    • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι συνεχής στο \Delta
    • Αποδεικνύουμε ότι

          \[f'(x)=0\]

      για κάθε εσωτερικό σημείο x \in \Delta.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ