Αρχείο ετικέτας ΔΙΚΛΑΔΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης $f$ που περιέχει απόλυτη τιμή, κάνουμε χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής και γράφουμε τον τύπο της $f$ χωρίς το απόλυτο. Τότε η $f$ γίνεται πολλαπλού τύπου και μπορούμε να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Συνέχεια ανάγνωσης →

Γ Λυκείου,ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

17 Οκτωβρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

‘Οταν έχουμε μια συνάρτηση της μορφής:

$f(x)=\kladoidyo{f_1(x)}{x\leq x_o}{f_2(x)}{x>x_o}$

Για να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

με $\alpha<x_o <\beta$ εργαζόμαστε ως εξής:

Για να έχει νόημα το

$\int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx$

πρέπει η $f$ να είναι συνεχής στο $[\alpha, \beta]$ άρα και στο $x_0.$

Επίσης:

$\begin{eqnarray*} \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx&=&\int_{\alpha}^{x_0} f(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f(x)dx\\ &=&\int_{\alpha}^{x_0} f_1(x)dx+\int_{x_0}^{\beta} f_2(x)dx\\ &=&... \end{eqnarray*}$

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

11 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Στη περίπτωση που η συνάρτηση $f,$ είναι ασυνεχής σε ένα σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

Αν $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0})$ και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0})$ και η $f$ αυξάνεται αριστερά του $x_{0}$ και φθίνει δεξιά του $x_{0},$ τότε στο $x_{0}$ η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.

Αν $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0})$ και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0})$ και η $f$ φθίνει αριστερά του $x_{0}$ και αυξάνεται δεξιά του $x_{0},$ τότε στο $x_{0}$ η συνάρτηση $f$ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης $f$ κοντά στη περιοχή του $x_{0}$ μας βοηθά στην απάντηση μας.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT,Χωρίς κατηγορία

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

11 Ιανουαρίου 2017 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης

$f(x)= \left\{ \begin{tabular}{ll} $x^2+2x-6,$ &$x\leq2$ \\\\ $x^2-8x+14,$ & $ x>2$ \end{tabular} \right.$

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ →

Γ Λυκείου,ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

30 Νοεμβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Θεώρημα Fermat
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σε ένα διάστημα $\Delta.$
Αν ισχύουν τα παρακάτω

η $f$ παρουσιάζει τοπικό ή ολικό ακρότατο στο $x_0$ ,
το $x_0$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$ ,
η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$ ,

τότε $f'(x_0)=0.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

Γ Λυκείου,ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ

27 Οκτωβρίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Αν για μια συνάρτηση $f$ ορίζεται στο σύνολο $A=\Delta_1\cup\Delta_2$ , όπου $\Delta_1$ και $\Delta_2$ διαστήματα και η παράγωγος $f'$ διατηρει το ίδιο πρόσημο για κάθε εσωτερικό σημείο $x$ των $\Delta_1$ και $\Delta_2$ , τότε η $f$ είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα $\Delta_1$ και $\Delta_2.$
Δεν μπορούμε να βγάλουμε το συμπέρασμα ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη σε όλο το σύνολο $A=\Delta_1\cup\Delta_2.$
Συνέχεια ανάγνωσης ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΠΟΥ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΔΙΑΤΗΡΕΙ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΕ ΕΝΩΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ →