Αρχείο ετικέτας ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Επίλυση της εξίσωσης {\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}} στην περίπτωση που η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:

  • H σύνθεση f\circ f^{^{-1}} είναι συνάρτηση ταυτοτική στο f(A) δηλαδή:
  •     \[\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.\]

  • H σύνθεση f^{^{-1}}\circ f είναι συνάρτηση ταυτοτική στο A_{f} δηλαδή:
  •     \[\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.\]

  • Οι συναρτήσεις f και f^{^{-1}} έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη f^{-1}. Επειδή οι γραφικές παραστάσεις C_{f} και C_{f^{-1}} είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=x, προκύπτει ότι οι εξισώσεις f(x)=x και f^{-1}(x)=x είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

        \[f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.\]

    Rendered by QuickLaTeX.com

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

    ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας κατάλληλους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη τότε η συνάρτηση f είναι και 1-1. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
  • Αν για μία συνάρτηση f διαπιστώσουμε ότι είναι άρτια ή περιοδική ή ότι για δύο διαφορετικές τιμές του x π.χ x_{1},x_{2} είναι f(x_{1})=f(x_{2}) τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 αφου θα έχουμε x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2}).
  • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1-1 ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΟΡΙΣΜΟΣ
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[x_{1}\neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2}).\]

    ισοδύναμος ορισμός
    Μια συνάρτηση f:A \to \mathbb{R} λέγεται συνάρτηση 1-1, όταν για οποιαδήποτε x_{1}, x_{2} \in A ισχύει η συνεπαγωγή:

        \[f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 1-1

    ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

  • Αν f(x) \leq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό μέγιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[max f = f(x_{0})\]

  • Αν f(x) \geq f(x_{0}) για κάθε x \in A_{f} θα λέμε ότι η f παρουσιάζει στο x_{0}\in A_{f}, ολικό ελάχιστο, το f(x_{0}).
    δηλαδή

        \[min f = f(x_{0})\]

  • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑΣ

    ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Έστω f:A\rightarrow\mathbb{R} μια συνάρτηση 1-1 και παραγωγίσιμη. Τότε και η αντίστροφή της f^{-1} είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x_0\in f(A) με την προυπόθεση ότι f'(f^{-1}(x_0))\neq0.
    Συνεπώς για κάθε x\in A ισχύει ότι:

        \[f^{-1}(f(x))=x\]

    Παραγωγίζοντας αυτή τη σχέση προκύπτει ότι:

        \begin{align*} 	&\Big(f^{-1}\big(f(x)\big)\Big)'=(x)' \Leftrightarrow\\ 	&\Big(f^{-1}\Big)'\big(f(x)\big)f'(x)=1 \end{align*}

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ